Question

17．如图，在平面坐标系xOy内，第Ⅱ、Ⅲ象限内存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅰ、Ⅳ象限内存在半径为L的圆形匀强磁场，磁场圆心在M（L，0）点，磁场方向垂直于坐标平面向内，一带负电粒子从第Ⅲ象限中的Q（-2L，-L）点以速度v₀沿x轴正方向射出，恰好从坐标原点O进入磁场，从P（2L.0）点射出磁场．不计粒子重力，求：
（1）带电粒子进入磁场时的速度的大小；
（2）电场强度与磁感应强度的大小之比；
（3）粒子在磁场与电场中运动的时间之比．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律可以求出带电粒子进入磁场时的速度的大小．
（2）由运动的合成与分解求出电场强度的表达式；粒子在磁场中做匀速圆周运动，由牛顿第二定律可以求磁感应强度．
（3）求出粒子在电场与磁场中的运动时间，然后求出它们的比值．

解答 解：（1）带电粒子在电场中做类似平抛运动的时间：
${t}_{1}=\frac{2L}{{v}_{0}}$，
沿y轴方向有：$a=\frac{{F}_{电场力}}{m}=\frac{qE}{m}$
带电粒子到达O点时，有：${v}_{y}=a{t}_{1}=\frac{qE}{m}{t}_{1}={v}_{0}$，
所以v方向与x轴正方向的夹角α=45°，
$v=\sqrt{2}{v}_{0}$，
（2）粒子沿y方向的位移：
$L=\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{{t}_{1}}^{2}$
得：E=$\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{2qL}$．
带电粒子进入磁场后做匀速圆周运动，由：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：r=$\frac{mv}{qB}$，
由几何关系得：r=$\sqrt{2}L$，
圆心角为90°，得：B=$\frac{m{v}_{0}}{qL}$．
所以：$\frac{E}{B}=\frac{{v}_{0}}{2}$
（3）在磁场中的时间为：${t}_{2}=\frac{1}{4}T=\frac{1}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{πL}{2{v}_{0}}$，
周期为：T=$\frac{2πm}{qB}$．
粒子在电场与磁场中运动的时间之比为：$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{4}{π}$．
答：（1）带电粒子进入磁场时的速度的大小是$\sqrt{2}{v}_{0}$；
（2）电场强度大小与磁感应强度的大小之比为：$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（3）粒子在电场与磁场中运动的时间之比为$\frac{4}{π}$．

点评 带电粒子在匀强电场中运动时，要注意应用运动的合成和分解；而在磁场中运动时为匀速圆周运动，在解题时要注意应用好平抛和圆周运动的性质