Question

如图甲所示，一质量为0.4kg足够长且粗细均匀的绝缘细管置于水平地面上，细管内表面粗糙，外表面光滑；有一质量为0.1kg、电量为0.1C的带正电小球沿管以水平向右的速度进入管内，细管内径略大于小球直径，运动过程中小球电量保持不变，空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度为1.0T．（取水平向右为正方向，g=10m/s²）

（1）带电小球以20m/s的初速度进入管内，则系统最终产生的内能为多少？
（2）小球以不同的初速度v₀进入管中，在细管未离开地面的情况下，求小球最终稳定的速度v_t与初速度v₀的函数关系，并以初速度v₀为横坐标，最终稳定的速度v_t为横坐标，在乙图中画出小球初速度和最终稳定的速度的关系图象．

Answer 1

分析：（1）滑块进入管中后，滑块做减速运动，管子做加速运动，由动量守恒定律及能量守恒定律可以求系统产生的内能．
（2）求出滑块与管子间没有弹力及摩擦力时的速度，分析滑块以不同速度进入管子时的运动情况，然后作出图象．

解答：解：（1）小球刚进入管内时受到洛仑兹力为：F_洛=qv₀B=2（N）
依题意小球受洛仑兹力方向向上，F_洛＞mg小球与管的上壁有弹力，摩擦使球减速至：mg=qv₁B           
得：v₁=10m/s
球与管系统动量守恒：mv₀=mv₁+Mv₂        
得：v₂=2.5m/s
系统产生内能：Q=

1

2

m

v

2 0

-(

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

)
代入数据得：Q=13.8（J）　　　             　
（2）①当小球初速小于v₁=10m/s时，F_洛＜mg，小球与管的下壁有弹力，摩擦力使小球最终与管共速，系统动量守恒：mv₀=（m+M）v
代入数据得：v_t=0.2v₀（0＜v₀＜10m/s）　　　　
②当初速度大于v_m时细管离开地面：（M+m）g=qv_mB
代入数据得：v_m=50m/s　　　
③当小球初速10m/s≤v₀≤50m/s时，小球与管的上壁有弹力，摩擦使球减速最终速度为v₁，
即：v_t=10m/s    （10m/s≤v₀≤50m/s）　v_t与v₀关系如图所示． 

答：（1）滑块以v₀=20m/s的初速度进入管内，系统最终产生的内能为13.8J；
（2）v_t-v₀图象如图所示．

点评：熟练应用左手定则及洛伦兹力公式对小滑块进行受力分析，根据滑块的受力情况分析滑块的运动情况，对各种可能出现的情况是正确解题的关键；本题难度较大．