Question

【题目】（1）科学家发现，除了类似太阳系的恒星-行星系统，还存在许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了较深刻的认识。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其它星体很远，可以当做孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是M0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，引力常量为G。

①求该双星系统中每个星体的线速度大小v；

②如果质量分别为m1和m2的质点相距为r时，它们之间的引力势能的表达式为，求该双星系统的机械能。

（2）微观世界与宏观世界往往存在奇妙的相似性。对于氢原子模型，因为原子核的质量远大于电子质量，可以忽略原子核的运动，形成类似天文学中的恒星-行星系统，记为模型Ⅰ。另一种模型认为氢原子的核外电子并非绕核旋转，而是类似天文学中的双星系统，核外电子和原子核依靠库仑力作用使它们同时绕彼此连线上某一点做匀速圆周运动，记为模型Ⅱ。假设核外电子的质量为m，氢原子核的质量为M，二者相距为r，静电力常量为k，电子和氢原子核的电荷量均为e。已知电荷量分别为+q1和-q2的点电荷相距为r时，它们之间的电势能的表达式为。

①模型Ⅰ、Ⅱ中系统的能量分别用EⅠ、 EⅡ表示，请推理分析，比较EⅠ、 EⅡ的大小关系；

②模型Ⅰ、Ⅱ中电子做匀速圆周运动的线速度分别用vⅠ、vⅡ表示，通常情况下氢原子的研究采用模型Ⅰ的方案，请从线速度的角度分析这样做的合理性。

Answer 1

【答案】（1）①②（2）①②模型Ⅰ的简化是合理的

【解析】（1）①，解得

②双星系统的动能，双星系统的引力势能，该双星系统的机械能E=Ek+Ep=

（2）①对于模型Ⅰ：，此时电子的动能EkⅠ=

又因电势能，所以EⅠ= EkⅠ+EpⅠ=

对于模型Ⅱ：对电子有： ， 解得

对于原子核有： ， 解得

因为r1+r2=r，所以有

解得EkⅡ=

又因电势能，所以EⅡ= EkⅡ+EpⅡ=

即模型Ⅰ、Ⅱ中系统的能量相等，均为

②解法一：

模型Ⅰ中：对于电子绕原子核的运动有，解得

模型Ⅱ中：

对电子有： ， 解得

对于原子核有： ，

因ω1=ω2，所以mvⅡ=Mv

又因原子核的质量M远大于电子的质量m，所以vⅡ>>v，所以可视为M静止不动，因此ω1=ω2=ω，即可视为vⅠ=vⅡ。故从线速度的角度分析模型Ⅰ的简化是合理的。

②解法二：

模型Ⅰ中：对于电子绕原子核的运动有，解得

模型Ⅱ中：

库仑力提供向心力： ………..（1）

解得；

又因为r1+r2=r所以

带入（1）式： ，

所以：

又因原子核的质量M远大于电子的质量m，所以vⅡ>>v，所以可视为M静止不动；故从线速度的角度分析模型Ⅰ的简化是合理的。