题目内容
【题目】设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星高度
（从地心算起）延伸到太空深处。这种所谓的太空电梯可用于低成本地发射绕地人造卫星，其发射方法是将卫星通过太空电梯匀速地提升到某高度，然后启动推进装置将卫星从太空电梯发射出去。
（1）、设在某次发射时，卫星在太空电梯中极其缓慢地匀速上升，该卫星在上升到0.80处意外地和太空电梯脱离（脱离时卫星相对于太空电梯上脱离处的速度可视为零）而进入太空。
a.论证卫星脱落后不会撞击地面。
b.如果卫星脱落后能再次和太空电梯相遇，即可在它们相遇时回收该卫星。讨论该卫星从脱落时刻起，在0~12小时及12~24小时两个时间段内被太空该电梯回收的可能性。
（2）如果太空电梯地点位于东经110度处，在太空电梯上离地心距离为
处有一卫星从电梯脱落（脱落时卫星相对于太空电梯上脱落处的速度可视为零），脱落后该卫星轨道刚好能和赤道某处相切，而使卫星在该点着地，试求卫星着地点的经度。提示：此问要用数值方法求解高次方程。
已知：地球质量
，半径
的球体；引力恒量
；地球自转周期
小时；假设卫星与太空电梯脱落后只受地球引力作用。
【答案】（1）a. 卫星不会撞击地球 b. 可以实现卫星回收.（2）
【解析】
（1）a．通过计算卫星在脱离点的动能和万有引力势能可知，卫星的机械能为负值. 由开普勒第一定律可推知，此卫星的运动轨道为椭圆（或圆），地心为椭圆的一个焦点(或圆的圆心)，如图所示.由于卫星在脱离点的速度垂直于地心和脱离点的连线，因此脱离点必为卫星椭圆轨道的远地点（或近地点）；设近地点（或远地点）离地心的距离为
，卫星在此点的速度为
.由开普勒第二定律可知
①
式中
为地球自转的角速度.令
表示卫星的质量，根据机械能守恒定律有
②
由①和②式解得
③
可见该点为近地点,而脱离处为远地点.
【③式结果亦可由关系式：
直接求得】
同步卫星的轨道半径
满足
④
由③和④式并代入数据得
⑤
可见近地点到地心的距离大于地球半径，因此卫星不会撞击地球.
b．由开普勒第二定律可知卫星的面积速度为常量，从远地点可求出该常量为
⑥
设
和
分别为卫星椭圆轨道的半长轴和半短轴，由椭圆的几何关系有
⑦
⑧
卫星运动的周期
为
⑨
代人相关数值可求出
⑩
卫星刚脱离太空电梯时恰好处于远地点，根据开普勒第二定律可知此时刻卫星具有最小角速度，其后的一周期内其角速度都应不比该值小，所以卫星始终不比太空电梯转动得慢；换言之，太空电梯不可能追上卫星.设想自卫星与太空电梯脱离后经过
（约14小时），卫星到达近地点，而此时太空电梯已转过此点，这说明在此前卫星尚未追上太空电梯.由此推断在卫星脱落后的0-12小时内二者不可能相遇；而在卫星脱落后12-24小时内卫星将完成两个多周期的运动，同时太空电梯完成一个运动周期，所以在12-24小时内二者必相遇，从而可以实现卫星回收.
（2）根据题意，卫星轨道与地球赤道相切点和卫星在太空电梯上的脱离点分别为其轨道的近地点和远地点.在脱离处的总能量为
此式可化为
这是关于
的四次方程，用数值方法求解可得
【亦可用开普勒第二定律和能量守恒定律求得.令
表示卫星与赤道相切点即近地点的速率，则有
和
由上两式联立可得到方程
其中除外其余各量均已知,因此这是关于的五次方程.同样可以用数值方法解得.】
卫星从脱离太空电梯到与地球赤道相切经过了半个周期的时间，为了求出卫星运行的周期
，设椭圆的半长轴为
，半短轴为
，有
因为面积速度可表示为
所以卫星的运动周期为
代入相关数值可得
h
卫星与地球赤道第一次相切时已在太空中运行了半个周期，在这段时间内，如果地球不转动，卫星沿地球自转方向运行180度，落到西经
处与赤道相切.但由于地球自转，在这期间地球同时转过了
角度，地球自转角速度
，
因此卫星与地球赤道相切点位于赤道的经度为西经
即卫星着地点在赤道上约西经121度处.
名校课堂系列答案
