题目内容

如图所示，斜面倾角为θ，一块质量为m、长为l的匀质板放在很长的斜面上，板的左端有一质量为M的物块，物块上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于斜面顶端的光滑定滑轮并与斜面平行，开始时板的右端距离斜面顶端足够远．试求：
（1）若板与斜面间光滑，某人以恒力F竖直向下拉绳，使物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，求物块与板间动摩擦因数μ₀；
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间t₀；
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度 $数学公式$ ，竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端．试求板与物块间动摩擦因数μ₁和板与斜面间动摩擦因数μ₂必须满足的关系．

解：（1）分别对物块和木板受力分析并建立如图所示的直角坐标系，
对木块M：G₁=Mg，则：F₁=Mgcosθ，
又：M在Y轴方向受力平衡，
所以F₃=F₁=Mgcosθ．
又：f=μ₀F₁=μ₀Mgcosθ
对板m：因为静止，所以X、Y方向分别受力平衡：
X轴方向：F₅=G₂sinθ=mgsinθ；f=μ₀Mgcosθ；
所以：mgsinθ=μ₀Mgcosθ；
得： $\text{[math]}$
（2）设物块M的加速度为a₀，物块Y方向合力为零，所以合力即为X轴上的合力：
X轴方向：F₂=G₁sinθ=Mgsinθ；f=μ₀Mgcosθ；
所以：F_合=F-Mgsinθ-μ₀Mgcosθ
由牛顿第二定律：F=ma得：
F-Mgsinθ-μ₀Mgcosθ=Ma₀即：a₀= $\text{[math]}$
又： $\text{[math]}$ 带入数据得：
联立解得： $\text{[math]}$
（3）设物块在板上滑行的时间为t₁，板的加速度为a，

对板有：Y方向合力为零，所以合力即为X方向的合力：
X轴方向：f=μ₁Mgcosθ；f₁=μ₂（M+m）gcosθ；F₅=G₂sinθ=mgsinθ
所以：F_合=μ₁Mgcosθ-mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ
由牛顿第二定律：F=ma得：
μ₁Mgcosθ-mgsinθ-μ₂（M+m）gcosθ=ma①
且物块最终不滑离板的右端．说明物块和木板最终要达到相同的速度v：所以有：v=at₁②
①②联立解得 $\text{[math]}$
又设物块从板的左端运动到右端的时间为t₂，
则： $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
为使物块最终不滑离板的右端，必须满足 t₁≤t₂
即 $\text{[math]}$
代入 $\text{[math]}$ 解得：μ₁-2μ₂≥2tanθ
所以要使物块最终不滑离板的右端，μ₁与μ₂必须满足μ₁-2μ₂≥2tanθ
答：
（1）物块与板间动摩擦因数 $\text{[math]}$ ．
（2）在（1）情形下，求物块在板上滑行所经历的时间 $\text{[math]}$
（3）若板与物块和斜面间均有摩擦，且M=m，某人以恒定速度 $\text{[math]}$ ，竖直向下拉绳，物块最终不滑离板的右端．试求板与物块间动摩擦因数μ₁和板与斜面间动摩擦因数μ₂必须满足的关系为：μ₁-2μ₂≥2tanθ
分析：（1）物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，可知板受力平衡，由受力平衡合外力为零可求得摩擦力，进一步可求得μ₀．
（2）物块沿板面由静止上滑过程中，板静止不动，物块上滑，其受力都为恒力，可知其做匀加速直线运动，由牛顿第二定律可求出加速度a，再由： $\text{[math]}$ 可求出需要的时间．
（3）物块最终不滑离板的右端．说明物块和木板最终要达到相同的速度v，表示出物块的加速度，求出其速度达到v用的时间t₁；临界条件是到达木板上端时恰好达到v，求出此时所需时间t₂，只需要让 t₁≤t₂即可．
点评：应用牛顿第二定律解题，关键是做好受力分析求出加速度，利用加速度把受力和物体的运动联系在一起．