Question

6．如图所示，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC⊥AB，∠AOC=30°，一条不计质量，长为l（l＜OA）的细绳，一端固定在顶点O，另一端拴一质量为m的物体（看做质点），当物体以速度v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$绕圆锥体的轴OC在水平面内做匀速圆周运动时，求物体和圆锥面之间的相互作用力．

Answer 1

分析 求出物体刚要离开锥面时的速度，此时支持力为零，根据牛顿第二定律求出该临界速度．当速度大于临界速度，则物体离开锥面，当速度小于临界速度，物体还受到支持力，根据牛顿第二定律，物体在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，求出绳子的拉力．

解答 解：当物体离开锥面时：Tcosθ-mg=0，Tsinθ=$\frac{m{v}^{2}}{R}$，R=Lsinθ
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$，
v₀=$\sqrt{\frac{gl}{6}}$＜v时，有：
${T}_{1}sinθ-{N}_{1}cosθ=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
T₁cosθ+N₁sinθ-mg=0
解得：${T}_{1}=\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$
答：物体和圆锥面之间的相互作用力为$\frac{3\sqrt{3}+1}{6}mg$．

点评 解决本题的关键找出物体的临界情况，以及能够熟练运用牛顿第二定律求解，难度不大，属于基础题．