Question

12．在抗震救灾中常常利用悬停直升机向灾区空投救灾物资（如图甲）．对于医药救灾物资只能从不高于h=20m处自由释放才能安全着地，实际一些灾区往往地处深山峡谷，直升机能够安全悬停的高度比h要高得多，直接空投会造成损失．为解决这一问题，“我爱发明”研究小组设计了一台限速装置，不论从多高处释放物资，最终都能以安全速度着地．该装置简化工作原理如图乙所示，竖直绝缘圆盘可以绕圆心O自由转动，其上固定半径分别为r₁=1m和r₂=0.5m的两个同心金属圆环，连接两圆环的金属杆EF的延长线通过圆心O，足够长的不可伸长的轻质细绳一端缠绕在大金属圆环上，另一端通过光滑滑轮挂救灾物资，圆环上的a点和b点通过电刷连接一可调电阻R，两圆环之间区域存在垂直于圆盘平面向内的匀强磁场，磁感应强度B=40T．（细绳与大金属圆环间没有滑动，金属杆、金属圆环、导线及电刷的电阻均不计，空气阻力及一切摩擦均不计，重力加速度g=10m/s²）

（1）求医药物资能安全着地的最大速度；
（2）利用该装置使医药物资以最大安全速度匀速下降，求此时电阻R两端的电势差；
（3）若医药物资的质量m=60kg，应如何设置可调电阻R的阻值？
（4）试推导质量为m的医药物资在匀速下降时，金属杆EF所受安培力与重力的大小关系．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动位移与速度公式，即可求解；
（2）根据法拉第电磁感应定律，结合几何关系求得面积，从而求得电阻R两端的电势差；
（3）由能量守恒关系，重力的功率等于发热功率，从而求得可调电阻的阻值范围；
（4）根据安培力表达式F=BIL，结合mgv=$\frac{{E}^{2}}{R}$，和E=$\frac{1}{2}B（v+\frac{v}{2}）（{r}_{1}-{r}_{2}）$，即可求解．

解答 解：（1）设医药物资安全到达地面的最大速度为v，
根据自由落体运动可知，则有：v=$\sqrt{2gh}$，解得：v=$\sqrt{2×10×20}$=20m/s；
（2）在△t时间内，金属杆EF扫过的面积为：△S=$\frac{1}{2}（v△t+\frac{v}{2}△t）（{r}_{1}-{r}_{2}）$
由法拉第电磁感应定律，金属杆上感应电动势的大小为E=$\frac{△∅}{△t}$=$\frac{B△S}{△t}$=$\frac{1}{2}B（v+\frac{v}{2}）（{r}_{1}-{r}_{2}）$；
解得：E=300V，
则电阻R两端的电势差为300V；
（3）医药物资以最大安全速度下降时，由能量关系可知，mgv=$\frac{{E}^{2}}{R}$
解得：R=7.5Ω
可调电阻R的阻值应大于或等于7.5Ω；
（4）设金属杆EF所受安培力为F，则有：F=BIL=B$\frac{E}{R}$（r₁-r₂）
将mgv=$\frac{{E}^{2}}{R}$，和E=$\frac{1}{2}B（v+\frac{v}{2}）（{r}_{1}-{r}_{2}）$代入；
解得：F=$\frac{4}{3}mg$
答：（1）医药物资能安全着地的最大速度20m/s；
（2）利用该装置使医药物资以最大安全速度匀速下降，此时电阻R两端的电势差300V；
（3）若医药物资的质量m=60kg，应可调电阻R的阻值应大于或等于7.5Ω；
（4）质量为m的医药物资在匀速下降时，金属杆EF所受安培力与重力的大小关系F=$\frac{4}{3}mg$．

点评 考查运动学公式、法拉第电磁感应定律的内容，掌握能量守恒关系，知道安培力表达式应用，并注意扫过面积求法．