Question

12．粗糙水平面放置一质量为m=1.0kg的物体，受到与水平方向的夹角为θ、大小F=4.0N的外力作用，θ可在图示平面内从0°～180°范围内变化．为研究物体的运动规律，可通过如图装置进行DIS实验，收集数据进行研究．重力加速度g取10m/s²．

（1）取θ=0°，通过传感器收集到位移x与时间平方t²关系如图2所示，求物体与水平面间的动摩擦因素μ；
（2）在保持物体m向右运动的过程中，改变θ的取值，通过传感器测得θ与物体加速度a的关系如图3所示，求图示中的a₁、a₂、a₃的数值分别为多少？

Answer 1

分析 （1）取θ=0°时，物体做匀加速直线运动，由位移时间公式和图象的信息结合，求出加速度，再由牛顿第二定律求解μ．
（2）根据牛顿第二定律得到加速度的表达式，运用数学知识求解a₁，并求解a₂、a₃的数值．

解答 解：（1）取θ=0°时，物体做匀加速直线运动，由位移时间公式得：
  x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由数学知识知，图2的斜率等于$\frac{1}{2}a$，而斜率k=1，解得 a=2m/s²．
由牛顿第二定律得：
  F-μmg=ma
解得 μ=0.2．
（2）由图知θ在0-$\frac{π}{2}$内，当θ=θ₁时a取得最大值．
根据牛顿第二定律得：
  Fcosθ-μ（mg-Fsinθ）=ma
可得 a=$\frac{F（cosθ+μsinθ）}{m}$-μg=4（cosθ+0.2sinθ）-2
根据数学知识得：a=4$\sqrt{1+0．{2}^{2}}$sin（θ+α）-2，式中 tanα=5
可知a的最大值为 a₁=4$\sqrt{1+0．{2}^{2}}$-2≈2.08m/s²．
当$θ=\frac{π}{2}$时，由牛顿第二定律得：-μ（mg-F）=ma₂，解得a₂=-1.2m/s²．
当θ=π时，有-μ（mg+F）=ma₃，解得a₃=-2.8m/s²．
答：
（1）物体与水平面间的动摩擦因素μ为0.2；
（2）图示中的a₁、a₂、a₃的数值分别为2.08m/s²、-1.2m/s²、-2.8m/s²．

点评 本题关键要读图能力，把握图象的信息，灵活运用数学知识求解极值问题．