Question

【题目】有两个完全相同的小滑块A和B,A沿光滑水平面以速度v0与静止在平面边缘O点的B发生正碰,碰撞中无机械能损失.碰后B运动的轨迹为OD曲线,如图所示.

（1）已知小滑块质量为m,碰撞时间为Δt,求碰撞过程中A对B平均冲力的大小；

（2）为了研究物体从光滑抛物线轨道顶端无初速度下滑的运动,特制做一个与B平抛轨迹完全相同的光滑轨道,并将该轨道固定在与OD曲线重合的位置,让A沿该轨道无初速下滑（经分析,A下滑过程中不会脱离轨道）.

a.分析A沿轨道下滑到任意一点的动量pA与B平抛经过该点的动量pB的大小关系;

b.在OD曲线上有一点M,O和M两点连线与竖直方向的夹角为45°.求A通过M点时的水平分速度和竖直分速度.

Answer 1

【答案】（1） （2）a. A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量．b. v0 ，v0

【解析】

（1）AB滑块在碰撞的过程中动量守恒，根据动量守恒可以求得碰后B的速度的大小，在由动量定理可以求得AB之间的相互的作用力的大小；

（2）a、A滑块在运动的过程中，只有重力做功，它的机械能守恒，而B做的是平抛运动，B有一个水平方向的初速度，所以在任意的一个位置，B的合速度都要比A的速度大，由此可以分析它们的动量的关系；b、M点在平抛运动的轨迹上，所以M点水平的位移和竖直方向上的位移满足平抛运动的规律，再根据B滑块做的是平抛运动，可以求得在M点的水平速度和竖直速度之间的关系．

（1）滑块A与B正碰，满足
mvA-mVB=mv0 ①
mvA2+mvB2=mv02②
由①②，解得vA=0，vB=v0，
根据动量定理，滑块B满足F△t=mv0
解得．
所以碰撞过程中A对B平均冲力的大小为．
（2）a．设任意点到O点竖直高度差为d．
A、B由O点分别运动至该点过程中，只有重力做功，所以机械能守恒．
选该任意点为势能零点，有
EA=mgd，EB=mgd+mv02
由于 ，
有 ，
即PA＜PB
所以A下滑到任意一点的动量总和是小于B平抛经过该点的动量．
b．以O为原点，建立直角坐标系xOy，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向下，则对B有
x=v0t，
y=gt2
B的轨迹方程 ，
在M点x=y，所以y= ③
因为A、B的运动轨迹均为OD曲线，故在任意一点，两者速度方向相同．
设B水平和竖直分速度大小分别为vBx和vBy，速率为vB；
A水平和竖直分速度大小分别为vAx和vAy，速率为vA，则 ，④
B做平抛运动，故vBx=v0，vBy= ，vB= ⑤
对A由机械能守恒得vA=，⑥
由④⑤⑥得，

将③代入得 vAx=v0 ，vAy=v0．
所以A通过M点时的水平分速度为v0 ，竖直分速度的大小为v0．