题目内容
【题目】一球形人造卫星,其最大横截面积为A、质量为m,在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动.由于受到稀薄空气阻力的作用,导致卫星运行的轨道半径逐渐变小.卫星在绕地球运转很多圈之后,其轨道的高度下降了△H,由于△H <<R,所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动.设地球可看成质量为M的均匀球体,万有引力常量为G.取无穷远处为零势能点,当卫星的运行轨道半径为r时,卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为.
(1)求人造卫星在轨道半径为R的高空绕地球做圆周运动的周期;
(2)某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小,做出了如下假设:卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为ρ,且为恒量;稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的,所有的颗粒原来都静止,它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度,在与这些颗粒碰撞的前后,卫星的速度可认为保持不变.在满足上述假设的条件下,请推导:
①估算空气颗粒对卫星在半径为R轨道上运行时,所受阻力F大小的表达式;
②估算人造卫星由半径为R的轨道降低到半径为R-△H的轨道的过程中,卫星绕地球运动圈数n的表达式.
【答案】(1)(2)①;②
【解析】
试题(1)设卫星在R轨道运行的周期为T,
根据万有引力定律和牛顿第二定律有:
解得:
(2)①如图所示,最大横截面积为A的卫星,经过时间从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置,该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象,碰撞后它们都获得了速度v,设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为F,根据动量定理有:
根据万有引力定律和牛顿第二定律有:,解得:
根据牛顿第三定律,卫星所受的阻力大小F′=.
②设卫星在R轨道运行时的速度为v1、动能为Ek1、势能为Ep1、机械能为E1,
根据牛顿定律和万有引力定律有:
卫星的动能,势能
解得:
卫星高度下降ΔH,在半径为(R-ΔH)轨道上运行,
同理可知其机械能
卫星轨道高度下降ΔH,其机械能的改变量
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功.设卫星在沿半径为R的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为W0,利用小量累积的方法可知:
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周,稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量,与轨道半径无关.
则ΔE=nW0
解得: