题目内容
12.如图所示,半径为R的半球形陶罐,固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上,转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合,转台以一定角速度ω匀速旋转,一质量为m的小物块落入陶罐内,经过一段时间后,小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止,它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为45°.已知重力加速度大小为g,小物块与陶罐之间的最大静摩擦力大小为f=$\frac{\sqrt{2}}{4}$mg.(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零,求此时的角速度ω0;
(2)若小物块一直相对陶罐静止,求陶罐旋转的角速度的范围.
分析 (1)小物块受到的摩擦力恰好为零,靠重力和支持力的合力提供向心力,根据牛顿第二定律,求得角速度的大小
(2)当ω>ω0时,重力和支持力的合力不够提供向心力,当角速度最大时,摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值,根据牛顿第二定律及平衡条件求解最大角速度,当ω<ω0时,重力和支持力的合力大于所需向心力,摩擦力方向沿罐壁切线向上,当角速度最小时,摩擦力向上达到最大值,根据牛顿第二定律及平衡条件求解最小值
解答 解:(1)当摩擦力为零,支持力和重力的合力提供向心力,
有:$mgtan45°=mRsin45{°ω}_{0}^{2}$
解得:${ω}_{0}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
(2)当ω>ω0时,重力和支持力的合力不够提供向心力,当角速度最大时,摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值,设此最大角速度为ω1,受力如图:
由牛顿第二定律得,
${F}_{f}cos45°+{F}_{N}cos45°=mRsin45{°ω}_{1}^{2}$
Ffsin45°+mg=FNsin45°
联立以上三式解得:${ω}_{1}=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
当ω<ω0时,重力和支持力的合力大于所需向心力,摩擦力方向沿罐壁切线向上,当角速度最小时,摩擦力向上达到最大值,设此最小角速度为ω2
由牛顿第二定律得,${F}_{N}cos45°-{F}_{f}cos45°=mRsin45{°ω}_{2}^{2}$
Ffsin45°+FNsin45°=mg
联立三式解得:${ω}_{2}=\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}$
所以 $\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
答:(1)若小物块受到的摩擦力恰好为零,此时的角速度ω0为$\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{R}}$
(2)若小物块一直相对陶罐静止,陶罐旋转的角速度的范围为 $\sqrt{\frac{\sqrt{2}g}{2R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3\sqrt{3}g}{2R}}$
点评 解决本题的关键搞清物块做圆周运动向心力的来源,结合牛顿第二定律,抓住竖直方向上合力为零,水平方向上的合力提供向心力进行求解,难度适中
A. | 当地的重力加速度大小为$\frac{b}{R}$ | |
B. | 小球的质量为$\frac{a}{b}$R | |
C. | v2=c时,在最高点杆对小球的弹力方向向上 | |
D. | 若v2=2b.则在最高点杆对小球的弹力大小为2a |
A. | 核力是短程力,作用范围在10-15m内,核力比库仑力大得多 | |
B. | 原子核中,质子与质子间有核力,质子和中子间没有核力 | |
C. | 结合能是指核子构成原子核时而具有的能量 | |
D. | 比结合能越大,表示原子核中的核子结合得越牢固 |
A. | 此时绳子张力为3μmg | |
B. | 此时圆盘的角速度为$\frac{2μg}{r}$ | |
C. | 此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆外 | |
D. | 此时烧断绳子,A仍相对盘静止,B将做离心运动 |
A. | 受到向心力为m$\frac{{V}^{2}}{R}$ | B. | 受到的摩擦力为μm$\frac{{V}^{2}}{R}$ | ||
C. | 受到的摩擦力为μmg | D. | 受到的合力方向斜向左上方 |
A. | N1、N2都大于mg | B. | N1=$\frac{m{v}^{2}}{R}$,N2=mg | ||
C. | N1=mg+$\frac{m{v}^{2}}{R}$,N2=mg | D. | N1=N2=$\frac{m{v}^{2}}{R}$ |
A. | 动量大的物体惯性一定大 | |
B. | 动量大的物体运动一定快 | |
C. | 动量相同的物体运动方向一定相同 | |
D. | 物体的动量发生变化,其动能一定变化 |