Question

13．如图所示，虚线OL与y轴的夹角θ=45°，在OL上侧有平行于OL向下的匀强电场，在OL下侧有垂直纸面向外的匀强磁场，一质量为m、电荷量q（q＞0）的粒子以速率v₀从y轴上的M（OM=d）点垂直于y轴射入匀强电场，该粒子恰好能够垂直于OL进入匀强磁场，不计粒子重力．
（1）求此电场的场强大小E；
（2）若粒子能在OL与x轴所围区间内返回到虚线OL上，求粒子从M点出发到第二次经过OL所需要的最长时间．

Answer 1

分析 （1）根据粒子只受电场力作用，沿电场线方向和垂直电场线方向建立坐标系，利用类平抛运动；根据横向位移及纵向速度建立方程组，即可求解；
（2）由（1）求出在电场中运动的时间及离开电场时的位置；再根据粒子在磁场中做圆周运动，由圆周运动规律及几何关系得到最大半径，进而得到最长时间；

解答 解：（1）粒子在电场中运动，不计粒子重力，只受电场力作用，F_电=qE，$a=\frac{qE}{m}$；
沿垂直电场线方向X和电场线方向Y建立坐标系，
则在X方向位移关系有：dsinθ=v₀cosθ•t，所以$t=\frac{d}{{v}_{0}}$；
该粒子恰好能够垂直于OL进入匀强磁场，所以在Y方向上，速度关系有：v₀sinθ=at=$\frac{qE}{m}t$，
所以，${v}_{0}sinθ=\frac{qEd}{m{v}_{0}}$，则有$E=\frac{m{{v}_{0}}^{2}sinθ}{qd}=\frac{m{{v}_{0}}^{2}sin45°}{qd}=\frac{\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$．
（2）根据（1）可知粒子在电场中运动的时间$t=\frac{d}{{v}_{0}}$；
粒子在磁场中只受洛伦兹力的作用，在洛伦兹力作用下做圆周运动，设圆周运动的周期为T
粒子能在OL与x轴所围区间内返回到虚线OL上，则粒子从M点出发到第二次经过OL在磁场中运动了半个圆周，所以，在磁场中运动时间为$\frac{1}{2}T$；
粒子在磁场运动，洛伦兹力作为向心力，所以有，$Bvq=m\frac{{v}^{2}}{R}$；
根据（1）可知，粒子恰好能够垂直于OL进入匀强磁场，速度v就是初速度v₀在X方向上的分量，即$v={v}_{0}cosθ={v}_{0}cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}$；
粒子在电场中运动，在Y方向上的位移$Y=\frac{1}{2}{v}_{0}sinθ•t=\frac{\sqrt{2}}{4}{v}_{0}t=\frac{\sqrt{2}}{4}d$，所以，粒子进入磁场的位置在OL上距离O点$l=dcosθ+Y=\frac{3\sqrt{2}}{4}d$；
根据几何关系，
可得：$l≥R+\frac{R}{cosθ}$，即$R≤\frac{l}{1+\frac{1}{cosθ}}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}d}{1+\sqrt{2}}=\frac{3（2-\sqrt{2}）}{4}d$；
所以，$T=\frac{2πR}{v}≤\frac{2π×\frac{3（2-\sqrt{2}）}{4}d}{\frac{\sqrt{2}}{2}{v}_{0}}$=$\frac{3（\sqrt{2}-1）πd}{{v}_{0}}$；
所以，粒子从M点出发到第二次经过OL所需要的最长时间${t}_{最长}=t+\frac{1}{2}{T}_{max}$=$\frac{d}{{v}_{0}}+\frac{1}{2}\frac{3（\sqrt{2}-1）πd}{{v}_{0}}=\frac{d}{{v}_{0}}[1+\frac{3（\sqrt{2}-1）π}{2}]$．
答：（1）此电场的场强大小E为$\frac{\sqrt{2}m{{v}_{0}}^{2}}{2qd}$；
（2）若粒子能在OL与x轴所围区间内返回到虚线OL上，则粒子从M点出发到第二次经过OL所需要的最长时间为$\frac{d}{{v}_{0}}[1+\frac{3（\sqrt{2}-1）π}{2}]$．

点评 在求运动相关的问题时，要注意判断运动的方向，如本题中，在电场中运动，要注意在Y方向上是沿负方向即OL方向运动的，在磁场中一样需要判断粒子向哪边偏转，才能得到几何关系，若向上偏转的半圆则解出的结果R会比向下偏转得到的R大得多．