Question

14．如图所示，半径R=0.2m的光滑四分之一圆轨道MN竖直固定放置，末端N与一长L=0.8m的水平传送带平滑相切，水平衔接部分无机械能损失，传动轮的轮半径很小，传送带以恒定的速度ν₀作顺时针运动．传送带上表面离地面的高度h=1.25m，其右侧地面上有一直径D=0.5m的圆形洞，洞口最左端的A点离传送带右端的水平距离x=1m，B点在洞口的最右端．现使质量为m=0.5kg的小物块从M点由静止开始释放，经过传送带后做平抛运动，小物体视为质点，不计空气阻力，传送带与小物块之间的动摩擦因数μ=0.5．g取10m/s²．求：
（1）求到达圆轨道末端N时小物块对轨道的压力大小和方向；
（2）若ν₀=3m/s，求小物块在传送带上因摩擦产生的内能；
（3）若要使小物块能落入洞中，求传送带的速度ν₀应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒定律求出物块到达N点的速度，然后应用牛顿第二定律求出轨道的支持力，再求出物块对轨道的压力．
（2）由牛顿第二定律求出物块的加速度，然后应用运动学公式求出物块与传送带的相对位移，再求出摩擦力做功产生的内能．
（3）物块离开传送带后做平抛运动，应用平抛运动规律求出速度的临界值，然后确定速度的范围．

解答 解：（1）设小滑块在N点的速度为v_N，从M到N机械能守恒，由机械能守恒定律得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_N²，
解得：v_N=2m/s，
在N处，由牛顿第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{N}^{2}}{R}$，
解得支持力：F_N=15N，
由牛顿第三定律得压力大小：F_N′=15N，方向：竖直向下；
（2）若传送带v₀=3m/s，则小滑块先要加速运动，对小滑块有：μmg=ma，
解得：a=5m/s²
从2m/s到3m/s，滑块位移：x=$\frac{{v}_{0}^{2}-{v}_{N}^{2}}{2a}$=0.5m＜0.8m，
时间：t=$\frac{{v}_{0}-{v}_{N}}{a}$=0.2s之后相对静止；
在滑块运动0.5m这段时间内，传送带位移：x=v₀t=0.6m
相对位移△x=0.6m-0.5m=0.1m，内能：Q=μmg△x=0.25J；
（3）由平抛运动规律，有：h=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：t=0.5s
若小物体刚好从A点进入洞中则要求初速度v₁=$\frac{x}{t}$=2m/s
若小物体刚好从B点进入洞中则要求初速度v₂=$\frac{x+D}{t}$=3m/s
结合第（2）问，分析可知，物体要落入洞中，传送带速度应满足的条件是2m/s＜v₀＜3m/s；
答：（1）到达圆轨道末端N时小物块对轨道的压力大小为15N，方向：竖直向下；
（2）若ν₀=3m/s，小物块在传送带上因摩擦产生的内能为0.25J；
（3）若要使小物块能落入洞中，传送带的速度ν₀应满足的条件是2m/s＜v₀＜3m/s．

点评 本题是一道力学综合题，分析清楚物体的运动过程是解题的关键，应用机械能守恒定律、牛顿定律、运动学公式与平抛运动功率可以解题．