Question

【题目】如图所示，倾角 θ=37°的光滑且足够长的斜面固定在水平面上，在斜面顶端固定一个轮半径和质量不计的光滑定滑轮 D，质量均为m=1kg 的物体A和B用一劲度系数k=240N/m 的轻弹簧连接，物体 B 被位于斜面底端且垂直于斜面的挡板 P 挡住。用一不可伸长的轻绳使物体 A 跨过定滑轮与质量为 M 的小环 C 连接，小环 C 穿过竖直固定的光滑均匀细杆，当整个系统静止时，环 C 位 于 Q 处，绳与细杆的夹角 α=53°，且物体 B 对挡板 P 的压力恰好为零。图中 SD 水平且长度 为 d=0.2m，位置 R 与位置 Q 关于位置 S 对称，轻弹簧和定滑轮右侧的绳均与斜面平行。现 让环 C 从位置 R 由静止释放，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g 取 10m/s2。

求：（1）小环 C 的质量 M；

（2）小环 C 通过位置 S 时的动能 Ek及环从位置 R 运动到位置 S 的过程中轻绳对环做的功 WT；

（3）小环 C 运动到位置 Q 的速率 v.

Answer 1

【答案】（1）0.72kg（2）0.3J（3）2m/s

【解析】（1）先以AB组成的整体为研究对象，AB系统受到重力．支持力和绳子的拉力处于平衡状态，则绳子的拉力为：T=2mgsinθ=2×10×sin37°=12N

以C为研究对象，则C受到重力、绳子的拉力和杆的弹力处于平衡状态，如图，则：Tcos53°=Mg

代入数据得：M=0.72kg

（2）由题意，开始时B恰好对挡板没有压力，所以B受到重力、支持力和弹簧的拉力，弹簧处于伸长状态；产生B沿斜面方向的受力：F1=mgsinθ=1×10×sin37°=6N

弹簧的伸长量：△x1＝mgsinθ／Ｋ＝0.025m

当小环 C 通过位置 S 时Ａ下降的距离为ｘＡ＝＝０.05m

此时弹簧的压缩量△x2=ｘＡ-△x1=0.025m

由速度分解可知此时A的速度为零,所以小环C从R运动到S的过程中,初末态的弹性势能相等,对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒有:Mgdcotα+mgｘＡsinθ=Ek

解得: Ek=1.38J

环从位置 R 运动到位置 S 的过程中,由动能定理可知: WT+ Mgdcotα= Ek

解得: WT=0.3J

⑶（5分）环从位置 R 运动到位置 Q 的过程中,对于小环C、弹簧和A组成的系统机械能守恒

Mg.（2dcotα）= vA =vcosα

两式联立可得: v=2m/s