题目内容

4．有一颗X行星，距地球很远，为了探测该行星，发射了一颗绕该星球做圆运动的卫星，其运行平面与地球上的观测站在同一平面内（不考虑地球的自转），在地球上的观测站发现：①该卫星的运行速率为v；②t0时间内可观测到，大约t0时间内不可见．
（1）该X行星的质量M是多少？
（2）该星球表面的重力加速度g多大？
（3）在高度不太大时（数百米高），测得物体在该星球表面下落时，所受大气阻力与速度平方成正比（F=kv2）．假设我们发射一宇宙飞船，释放的登陆器（质量为m）悬停在距该星球表面h（h数十米高，远小于X行星的半径）处，让登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度g匀加速下落$\frac{h}{2}$，然后开启喷气发动机向下喷气，使之匀减速下落，着地速度恰好为零，试求发动机对登陆器所做的功W及登陆器从自由下落到着地的时间t．

分析 （1）根据题意得出周期，根据线速度公式求出半径，根据万有引力提供向心力；
（2）根据万有引力等于重力列式求解重力加速度；
（3）根据匀变速直线运动位移时间公式求出下落的时间，根据速度公式求出下落$\frac{h}{2}$的速度，空气阻力f=kv2，且又是匀加速运动，阻力与位移是线性关系，画出（v2-x及f-x）图象，整个过程克服阻力的功就是f-x图象中的面积，再结合动能定理列式求解即可．

解答 解：（1）由题意得：T=2t0
线速度v=$\frac{2πR}{T}$，
解得：R=$\frac{v{t}_{0}}{π}$
根据万有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：M=$\frac{{v}^{2}R}{G}=\frac{{v}^{3}{t}_{0}}{πG}$
（2）根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$
解得：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{πv}{{t}_{0}}$
（3）登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度g匀加速下落$\frac{h}{2}$，则有：
$\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$
解得：${t}_{1}=\sqrt{\frac{h}{g}}$，
此时的速度为：${v}_{1}=g{t}_{1}=\sqrt{\frac{πvh}{{t}_{0}}}$
从自由下落到着地的时间为：t=2${t}_{1}=2\sqrt{\frac{h{t}_{0}}{πv}}$
因为空气阻力f=kv2，且又是匀加速运动，所以由${v}^{2}-{{v}_{0}}^{2}=2ax$可知，

阻力与位移是线性关系，其图象（v2-x及f-x）如图所示：
所以整个过程克服阻力的功就是f-x图象中的面积，则有：${W}_{f}=\frac{1}{2}k{{v}_{1}}^{2}h=\frac{πkv{h}^{2}}{2{t}_{0}}$
设发动机做的功为W，根据动能定理得：mgh-Wf+W=0
解得：$W=\frac{πhv}{{t}_{0}}（\frac{kh}{2}-m）$
答：（1）该X行星的质量M为$\frac{{v}^{3}{t}_{0}}{πG}$；
（2）该星球表面的重力加速度g为$\frac{πv}{{t}_{0}}$；
（3）发动机对登陆器所做的功W为$\frac{πhv}{{t}_{0}}（\frac{kh}{2}-m）$，登陆器从自由下落到着地的时间t为$2\sqrt{\frac{h{t}_{0}}{πv}}$．

点评 本题主要考查了万有引力提供向心力公式、运动学基本公式以及动能定理的直接应用，知道在星球表面万有引力等于重力，第三问要求同学们能画出（v2-x及f-x）图象，结合整个过程克服阻力的功就是f-x图象中的面积求解，难度较大．

练习册系列答案
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（2）如图甲，抬高长木板的左端，使小车从靠近光电门乙处由静止开始运动，读出测力计的示数F和小车在两光电门之间的运动时间t0，改变木板倾角，测得多组数据，得到的F-$\frac{1}{{t}^{2}}$的图线如图乙所示．实验中测得两光电门的距离L=0.80m，砂和砂桶的总质量m1=0.34kg，重力加速度g取9.8m/s2，则图线的斜率为0.54kg•m（结果保留两位有效数字）；若小车与长木板间的摩擦不能忽略，测得的图线斜率将不变（填“变大”、“变小”或“不变”）．

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