Question

（2013?贵州模拟）在半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．有两个相同的带正电的粒子从A点垂直于磁场方向进入磁场中，进入磁场时的速度v₁和v₂大小未知、方向与AO的夹角均为α，如图所示．已知两粒子的质量为m、电量为q，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径也是R，不计粒子的重力和它们之间的相互作用．求：
（1）两粒子的运动速度v₁和v₂的大小；
（2）两粒子在磁场中运动的时间之差：
（3）两粒子离开磁场的位置之间的距离．

Answer 1

分析：（1）由洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，即可求解；
（2）根据几何关系，结合运动的周期公式，即可求解；
（3）由几何知识，即可求解．

解答：解：（1）两粒子在磁场中圆周运动的半径都是R，所以速度大小相同，设为v，
则有：qvB=m

v2

R

所以，v₁=v₂=v=

qBR

m

；
（2）设以v₁运动的粒子从圆上的M点离开磁场区域，轨道的圆心为O₁，
由题意可知，O₁A=O₁M=OA=OM，即OAO₁M是菱形，所以O₁M∥OA，
设轨迹圆心角分别为α₁，则∠OAO₁=90°+α；
α₁=180°-∠OAO₁=90°-α
同理，设以v₂运动的粒子从圆上的N点离开磁场区域，轨迹的圆心角为α₂，则∠OAO₂=90°-α；
α₂=180°-∠OAO₂=90°+α
两轨迹圆的圆心角的差值为△α=α₂-α₁；
即△α=2α
设粒子在磁场中圆周运动的周期为T，则有：T=

2πm

qB

；
两粒子在磁场中运动的时间差为△t=

△α

2π

T=

2αm

qB

（3）由上分析可知，α₁=∠OAO₂，说明两菱形除边长相等外，顶角也相等，两菱形全等．
O₂N、O₁M到OA的距离相等，即O₂N、O₁M在同一直线上，在三角形MON中，∠MON=α₂-α₁=2α，
所以，MN=2Rsinα．
答：（1）两粒子的运动速度v₁和v₂的大小v₁=v₂=v=

qBR

m

；
（2）两粒子在磁场中运动的时间之差

2αm

qB

：
（3）两粒子离开磁场的位置之间的距离2Rsinα．

点评：考查粒子在磁场中做匀速圆周运动，掌握洛伦兹力提供向心力，理解牛顿第二定律的应用．注意巧用几何知识建立关系．