Question

18．光滑水平轨道abc、ade在a端很接近但是不相连，bc段与de段平行，尺寸如图所示．轨道之间存在磁感应强度为B的匀强磁场．初始时质量m的杆1放置在b、d两点上，杆2放置在杆1右侧$\frac{L}{2}$处．除杆2电阻为R外，杆1和轨道电阻均不计．
（1）若固定杆1，对杆2施加水平向右的外力F，使杆2由静止开始向右以加速度a做匀加速直线运动．推导外力F随时间t变化的关系？
（2）若固定杆2，用水平外力将杆1以初速度v₀向左拉动，运动过程中保持杆中电流不变，杆1向左运动位移L时速度的大小为多少？
（3）在（2）问的过程中，杆1向左运动位移L内，水平外力做的功为多少？

Answer 1

分析 （1）根据切割产生的感应电动势公式和欧姆定律求解电流，根据F=BIL求安培力，根据牛顿运动定律表示外力．
（2）抓住电流不变，产生的感应电动势不变，结合切割产生的感应电动势公式求出杆1向左运动位移L时速度的大小．
（3）因为安培力F_A=BIL，切割有效长度L与位移成线性关系均匀减小，求出这段过程中的平均安培力，从而求出这段过程中安培力做的功，根据动能定理求出水平外力做的功．

解答 解：
（1）杆2时刻t的速度 v=at    
杆2切割磁感线产生的感应电动势E=BLv
时刻t的感应电流I=$\frac{E}{R}$
杆2在加速过程中，根据牛顿第二定律
F-BIL=ma           
联立以上关系式解得：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}t$+ma         
（2）移动L后，切割长度为$\frac{L}{2}$                     
此时感应电动势应和初始时大小相同$\frac{1}{2}$BLV₁=BLv₀      
v₁=2v₀                       
（3）由动能定理W_F+W_安=$\frac{1}{2}m（2{v}_{0}）^{2}$$-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
因为安培力F_A=IlB，切割有效长度l与位移成线性关系均匀减小
I′=$\frac{BL{v}_{0}}{R}$
W_安=-$\frac{BLI′+\frac{1}{2}BLI′}{2}$L=-$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$

解得 W_F=$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$$+\frac{3}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$
答：（1）推导外力F随时间t变化的关系：F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{R}t$+ma；
（2）杆1向左运动位移L时速度的大小为 2v₀；
（3）杆1向左运动位移L内，水平外力做的功为$\frac{3{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{4R}$$+\frac{3}{2}$mv${\;}_{0}^{2}$．

点评 解决本题的关键掌握切割产生的感应电动势公式E=BLv，以及欧姆定律、功率等规律，注意找到不变的物理量．