Question

4．投影仪的镜头是一个半球形的玻璃体，光源产生的单色平行光投射到平面上，经半球形镜头折射后在光屏MN上形成一个圆形光斑．已知镜头半径为R，光屏MN到球心O的距离为4R，玻璃对该单色光的折射率为n=$\sqrt{2}$，不考虑光的干涉和衍射．求：
（1）能从玻璃体射出的平行光到O点的距离d需满足什么条件．
（2）光屏MN上被照亮的圆形光斑的半径．（结果可用根式表示）

Answer 1

分析 （1）平行光在玻璃砖内表面恰好发生全反射时的入射角，即为临界角，由sinC=$\frac{1}{n}$求临界角C，再由几何知识求平行光到O点的距离d．
（2）作出光路图，由几何知识求光屏MN上被照亮的圆形光斑的半径．

解答 解：（1）如图所示，光线入射到D点时恰好发生全反射，则 $sinC=\frac{1}{n}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，得 C=45°
由几何关系有 $OA=RsinC=\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
所以 $d≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$
（2）由几何关系有 $\overline{OF}=\frac{R}{cosC}=\sqrt{2}R$
又因为 $\frac{\overline{O′F}}{r}$=tanC，$\overline{{O^'}F}=4R-\overline{OF}$
解得 $r=（{4-\sqrt{2}}）R$
答：
（1）能从玻璃体射出的平行光到O点的距离d需满足的条件是 $d≤\frac{{\sqrt{2}}}{2}R$．
（2）光屏MN上被照亮的圆形光斑的半径是（4-$\sqrt{2}$）R．

点评 本题的关键是要掌握全反射的条件，要作出光路图，根据几何知识求出入射角与折射角，知道折射率和临界角的关系．