Question

如图所示，在直角坐标系的原点O处有一放射源，向四周均匀发射速度大小相等、方向都平行于纸面的带电粒子．在放射源右侧有一很薄的挡板，垂直于x轴放置，挡板与xoy平面交线的两端M、N正好与原点O构成等边三角形，O′为挡板与x轴的交点．在整个空间中，有垂直于xoy平面向外的匀强磁场（图中未画出），带电粒子在磁场中沿顺时针方向做匀速圆周运动．已知带电粒子的质量为m，带电荷量大小为q，速度大小为υ，MN的长度为L．（不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用）
（1）确定带电粒子的电性；
（2）要使带电粒子不打在挡板上，求磁感应强度的最小值；
（3）要使MN的右侧都有粒子打到，求磁感应强度的最大值．（计算过程中，要求画出各临界状态的轨迹图）

Answer 1

分析：（1）由磁场方向与偏转方向确定粒子的带电性质
（2）要使y轴右侧所有运动粒子都不打在 MN板上，其临界条件为：沿y轴方向运动的粒子作圆周运动，轨迹刚好与MN相切．根据牛顿第二定律求出电场强度磁感应强度的最小值
（3）为使MN的右侧都有粒子打到，打在N点的粒子最小半径的轨迹必为△OMN的外接圆，对应此种情况，由洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律得到磁感应强度的最大值

解答：解：
（1）由左手定则可得，粒子带正电荷．    
（2）设磁感应强度大小为B，带电粒子运动的轨迹半
径为r，带电粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提
供，有：qvB=

mv2

r

得r=

mv

qB

                     
由于从O点射出的粒子的速度大小都相同，由上式可知，所有粒子的轨迹半径都相等．
由几何知识可知，为使粒子不打在挡板上，轨迹的半径最大时，带电粒子在O点沿y轴正方向射出，其轨迹刚好与MN相切，如图甲所示．（2分）
则最大半径rmax=

1

2

×Lcos30°=

3

4

L
由上式可得，磁感应强度的最小值
Bmin=

4 3 mv

3qL

（3）为使MN的右侧都有粒子打到，打在N点的粒子最小半径的轨迹为图乙中的圆弧OMN．                   
图中点O₃为轨迹的圆心，由于内接△OMN为正三角形，
由几何知识，最小的轨迹半径为r_min=

L

2cos30°

粒子做匀速圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，有qvB_max=

mv2

rmin

所以，磁感应强度的最大值B_max=

3 mv

qL

点评：带电粒子在匀强磁场中的运动问题，关键是找到轨迹的圆心，由几何关系得到半径，由洛伦兹力提供向心力求解，其中想象粒子可能的运动情景是比较困难的