题目内容

如图所示，一个半径为R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O点为其球心，碗的内表面及碗口是光滑的．一根轻质细线跨在碗口上，线的两端分别系有小球A和B，当它们处于平衡状态时，小球A与O点的连线与水平线的夹角为60°．
（1）求小球A与小球B的质量比mA：mB；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，求B球的速度大小．
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（1）设绳的张力为T．对A球进行受力分析，有
Nsin60°+Tsin60°=mAg
Ncos60°=Tcos60°
对B球进行受力分析，有T=mBg
可解得：mA：mB=
3
：1
（2）A球的重力势能改变量为△EpA=-mAgR=-2mgR
B两球的重力势能改变量为△EpB=mBg?
2
R=
2
mgR
所以A、B两球总的重力势能改变量为△Ep=△EpA+△EpB=-(2-
2
)mgR
负号表示两球的重力势能减少．
（3）当A球滑到碗底时，设A、B两球的速度分别为vA、vB，则vAcos45°=vB（1）
根据A、B两球总机械能守恒，有△EK+△Ep=0（2）
即
1
2
mAvA2+
1
2
mBvB2-(2-
2
)mgR=0（3）
联立以上三式，解得：vB=
2(2-
2
)
5
gR
（或
0.23gR
或0.48
gR
）
答：（1）小球A与小球B的质量比mA：mB=
3
：1；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，两球总的重力势能减小量是(2-
2
)mgR；
（3）在（2）条件下，当A球滑到碗底时，B球的速度大小是
2(2-
2
)
5
gR
．
练习册系列答案
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（1）求小球A与小球B的质量比mA：mB；
（2）现将A球质量改为2m、B球质量改为m，且开始时A球位于碗口C点，由静止沿碗下滑，当A球滑到碗底时，求两球总的重力势能改变量；
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1
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