题目内容

18．如图所示，在直角坐标xOy平面内，在y＜0的区域有磁感应强度为B的匀强磁场，在y＞0的区域有磁感应强度为2B的匀强磁场，它们的方向皆垂直xOy平面向里，在坐标原点O处，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子a以大小为2v的速度沿y轴正方向运动，经过时间△t=$\frac{πm}{qB}$后，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子b以大小为v的速度从坐标原点O处沿y轴负向运动，又经过时间t粒子a、b第一次相遇．不计粒子重力及a、b间的相互作用力，求：
（1）粒子b刚开始运动时，粒子a的坐标位置；
（2）从粒子b刚开始运动到a、b第一次相遇，粒子b运动经历的时间t；
（3）若粒子a、b第一次相遇即发生弹性碰撞且碰撞时间不计，碰后a、b各自带电量不变，求再经时间$\frac{πm}{2qB}$时，粒子a、b间的距离．

分析 （1）粒子a在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出轨道半径和周期表达式；结合时间确定位置坐标；
（2）根据牛顿第二定律求解出粒子b的轨道半径和周期，通过轨迹确定相遇的位置和时间；
（3）粒子a、b第一次相遇时的速度方向均是向上，是弹性碰撞，此后先根据周期和半径公式得到轨道半径和周期，在确定位置和间距．

解答 解：（1）a粒子在y＞0的区域做匀速圆周运动的半径为ra1，根据牛顿第二定律，有：
q（2v）2B=m$\frac{（2v）^{2}}{{r}_{a1}}$
解得：
ra1=$\frac{mv}{qB}$
周期：
Ta1=$\frac{2πm}{q×2B}$=$\frac{πm}{qB}$
a粒子在y＜0的区域做匀速圆周运动的半径为ra2，
ra2=$\frac{2mv}{qB}$  
周期：
${T}_{a2}=\frac{2πm}{qB}$
经时间△t=$\frac{πm}{qB}$，粒子a在上面磁场运动半周，在下面磁场运动$\frac{1}{4}$圆周；
故粒子a的坐标位为（0，-$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）同理可得：
b粒子在y＞0的区域做匀速圆周运动的半径rb1=$\frac{mv}{2qB}$    
周期：${T}_{b1}=\frac{πm}{qB}$
b粒子在y＜0的区域做匀速圆周运动的半径rb2=$\frac{mv}{qB}$     
周期：Tb2=$\frac{2πm}{qB}$
画图分析粒子a、b得运动轨迹可知：

从粒子b刚开始运动，到a、b第一次相遇，坐标为（0，$\frac{4mv}{qB}$），故粒子b运动经历的时间t=$\frac{4πm}{qB}$；
（3）粒子a、b第一次发生弹性碰撞，因质量相等，速度交换
再经时间$\frac{πm}{2qB}$时，由位置关系可得：粒子a、b间的距离：
d=$\sqrt{（\frac{2mv}{qB}）^{2}+（\frac{3mv}{qB}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}mv}{qB}$
答：（1）粒子b刚开始运动时，粒子a的坐标位置为（0，-$\frac{2mv}{qB}$）；
（2）从粒子b刚开始运动到a、b第一次相遇，粒子b运动经历的时间t为$\frac{4πm}{qB}$；
（3）若粒子a、b第一次相遇即发生弹性碰撞且碰撞时间不计，碰后a、b各自带电量不变，再经时间$\frac{πm}{2qB}$时，粒子a、b间的距离为$\frac{\sqrt{13}mv}{qB}$．

点评 本题关键是根据牛顿第二定律推导出粒子的周期和半径的关系，然后画出两个粒子的运动轨迹示意图，结合轨迹示意图进行分析，不难．

练习册系列答案
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