Question

如图8所示，质量为m=0.5 kg的小球从距离地面高H=5 m处自由下落，到达地面恰能沿凹陷于地面的半圆形槽壁运动，半圆槽的半径R为0.4 m，小球到达槽底部最低点时速率恰好为10 m/s，并继续沿槽壁运动直到槽左端飞出且竖直方向上升、落下，如此反复几次.设摩擦力大小恒定不变，求：

图8

（1）小球第一次飞出半圆槽上升的距离离水平地面的高度h为多少？

（2）小球最多能飞出槽外几次？（g取10 m/s²）

Answer 1

解析：（1）设球落至槽右端口时的速度为v₁，根据机械能守恒定律有mgH=mv₁²，v₁==10 m/s.

小球从槽右端口到最低点的过程中，根据动能定理得mv₂²-mv₁²=mgR-W_f

因为v₁=v₂=10 m/s，所以有W_f=mgR=2 J

由对称性可知，小球从槽底到左端口摩擦力做的负功也是2 J，因此小球沿半圆轨道滑行一次克服摩擦力做的功为2W_f=4 J.设小球第一次离槽上升的最大高度为h，对小球从下落到第一次上升到最高点的过程应用动能定理得mg(H-h)-2W_f=0

从而解得h=4.2 m.

（2）设小球飞出槽n次，则小球消耗的能量为2nW_f，由能量守恒得

2nW_f≤mgH，n≤=6.25.

故小球最多能飞出槽外6次.

答案：（1）4.2 m  （2）6次