题目内容

4．麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在其周围空间激发一种电场，这种电 场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场，如图甲所示．

（1）若图甲中磁场B随时间t按B=B0+kt（B0、k均为正常数）规律变化，形成涡旋电场的电场线是一系列 同心圆，单个圆上形成的电场场强大小处处相等．将一个半径为r的闭合环形导体置于相同半径的电 场线位置处，导体中的自由电荷就会在感生电场的 作用下做定向运动，产生感应电流，或者说导体中 产生了感应电动势．求：
a．环形导体中感应电动势E感大小；
b．环形导体位置处电场强度E大小．
（2）电子感应加速器是利用感生电场使电子加速的设备．它的基本原理如图乙所示，图 的上部分为侧视图，上、下为电磁铁的两个磁极，磁极之间有一个环形真空室，电 子在真空室中做圆周运动．图的下部分为真空室的俯视图，电子从电子枪右端逸出，当电磁铁线圈电流的大小与方向变化满足相应的要求时，电子在真空室中沿虚线圆 轨迹运动，不断地被加速．若某次加速过程中，电子圆周运动轨迹的半径为R，圆形轨迹上的磁场为B1，圆形轨迹区域内磁场的平均值记为$\overline{{B}_{2}}$（由于圆形轨迹区域内各处磁场分布可能不均匀，$\overline{{B}_{2}}$即为穿过圆形轨道区域内的磁通量与圆的面积比值）．电磁铁中通有如图丙 所示的正弦交变电流，设图乙装置中标出的电流方向为正方向．
a．在交变电流变化一个周期的时间内，分析说明电子被加速的时间范围；
b．若使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，B1与$\overline{{B}_{2}}$之间应满足B1=$\frac{1}{2}$$\overline{{B}_{2}}$之的关系，请写出你的证明过程．

分析 （1）a．由B=B0+kt可求出磁感应强度的变化率，结合法拉第电磁感应定律，联立即可求出环形导体中感应电动势E感大小；b．因为电场力的方向始终沿切线方向，利用做功公式、电势差的定义式以及场强定义式，联立即可求解环形导体位置处电场强度E大小；
（2）a．结合图象运用楞次定律分析即可；b．由洛伦兹力提供向心力，结合（1）问中b结论联立即可证明．

解答 解：（1）a．根据法拉第电磁感应定律：E感=$\frac{△φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}S$=$\frac{△Bπ{r}^{2}}{△t}$ ①
由B=B0+kt可知：$\frac{△B}{△t}$=k ②
联立①②式得：E感=kπr2 ③
b．由W电=F电•2πr ④
W电=eE电 ⑤
F电=eE ⑥
联立③④⑤⑥式得：E=$\frac{{E}_{感}}{2πr}$=$\frac{kπ{r}^{2}}{2πr}$=$\frac{kr}{2}$
（2）a．B1和$\overline{{B}_{2}}$是由同一个电流产生的，因此磁场方向总相同；
由图2可知：B1处的磁场向上，才能提供做圆周运动的向心力（时间0～$\frac{T}{2}$）；
由图2可知：感生电场的电场线方向顺时针，电子才能加速，所以$\overline{{B}_{2}}$可以是向上增强（时间0～$\frac{T}{4}$）或向下减弱（时间$\frac{3}{4}T$～T）；
综上三点可知：磁场向上增强才能满足在圆周上的加速，因此根据图3可知只能在第一个四分之一周期加速．
b．做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供：设某时刻电子运动的速度为v
由B1ev=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：B1eR=mv⑦
由（1）问中b结论可得，此时轨道处的感生电场场强大小：E=$\frac{R△\overline{{B}_{2}}}{2△t}$ ⑧
整理⑦式可得：eR$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=m$\frac{△v}{△t}$=ma=eE ⑨
联立⑧⑨式得：eR$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=e•$\frac{1}{2}$R$\frac{△\overline{{B}_{2}}}{△t}$
整理得：$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{△\overline{{B}_{2}}}{2△t}$
因为t=0时：B1=0、B2=0，所以有B1=$\frac{1}{2}$$\overline{{B}_{2}}$
答：（1）a．环形导体中感应电动势E感大小为kπr2；b．环形导体位置处电场强度E大小为$\frac{kr}{2}$．
（2）a．在交变电流变化一个周期的时间内，分析说明电子被加速的时间范围为第一个四分之一周期；
b．若使电子被控制在圆形轨道上不断被加速，B1与$\overline{{B}_{2}}$之间应满足B1=$\frac{1}{2}$$\overline{{B}_{2}}$之的关系，证明过程见解析．

点评 本题考查麦克斯韦电磁场理论、发拉第电磁感应定律以及楞次定律；题中变化的磁场激发了环形电场，可将该过程理解为未够成闭合回路的电磁感应现象，没有感应电流，但产生感应电动势；整理⑦式过程用到了微分的思想，同学们要注意体会理解．

练习册系列答案
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14．某同学采用如图甲所示的电路测定电源电动势和内电阻，实验室提供了以下一些器材可供选择：
A、电流表A1（量程为0～3A，1.0Ω）
B、电流表A2（量程为0～0.6A，1.0Ω）
C、电压表V（量程0～3V，内阻50kΩ）
D、滑动变阻器R1（最大阻值约10Ω）
E、滑动变阻器R2（最大阻值约100Ω）
F、干电池的电动势约为1.5V
G、开关s和导线若干
（1）实验中电流表应选用B滑动变阻器应选用D
（2）在实验中测得多组电压和电流值，得到如图乙所示的U-I图象，由图可较准确地求出电源电动势E=1.47V；内阻r=1.86Ω（保留三位有效数字）．
（3）由于所选的电流表、电压表不是理想表，则所测得电源电动势的值应比真实值偏小．（填“偏大”、“相等”或“偏小”）电源的内阻应比真实值偏小．（填“偏大”、“相等”或“偏小”）
15．关于物体的运动，下列说法中正确的是（　　）
A．曲线运动一定是变速运动
B．变速运动一定是曲线运动
C．物体在变力作用下的运动一定是曲线运动
D．运动物体的加速度大小、速度大小都不变的运动一定是直线运动
12．质量相同的甲乙两物体放在相同的水平地面上，分别在水平力F1、F2的作用下从同一地点，沿同一方向，同时运动，其v-t图象如图所示，下列判断正确的是（　　）
A．在0-2s内，F1越来越小
B．4-6s内两者逐渐远离
C．4s末甲乙两物体的动能相同，由此可知F1=F2
D．0-6s内两者在前进方向上的最大距离为4m
19．如图为湖边一倾角为30°的大坝横截面示意图，水面与大坝的交点为O．一人站在A点以速度v0沿水平方向扔石子，已知AO=40m，g取10m/s2，下列正确的是（　　）
A．若石块能落入水中，则v0越大，落水时速度方向与水平面的夹角越小
B．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越大
C．若石块不能落入水中，则v0越大，落到斜面上时速度方向与斜面的夹角越小
D．若v0=18m/s，则石块可以落入水中
9．如图甲所示的电路，已知电阻R1=R2=R．和R1并联的D是理想二极管（正向电阻可视为零，反向电阻为无穷大），在A、B之间加一个如图乙所示的交变电压（电压为正值时，UAB＞0）．由此可知（　　）
A．在A、B之间所加的交变电压的周期为2 s
B．在A、B之间所加的交变电压的瞬时值表达式为u=20$\sqrt{2}$sin 100πt（V）
C．在A、B之间所加的交变电压的最大值为20 V
D．加在R2上电压的有效值为20 V
16．1990年5月，紫金山天文台将所发现的第2752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16km．若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星的密度与地球相同，已知地球的半径R=6400km，那么，一个在地球表面上重为10N的物体放在吴健雄星表面上时重为多少？
13．关于将物体以v0的速度水平抛出，不计空气阻力，当其竖直分位移的大小与水平分位移的大小相等时，以下说法中正确的是（　　）
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C．运动的位移的大小为$\frac{{2\sqrt{2}{v_0}^2}}{g}$
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3．在一个大气压下，1g水在沸腾时吸收了2260J的热量后变成同温度的水蒸汽，对外做了170J的功，阿伏伽德罗常数NA=6.0×1023mol-1，水的摩尔质量M=18g/mol．则：
①水的分子总势能变化了多少J？
②1g水所含的分子数为多少？（结果保留两位有效数字）

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