Question

13．质谱仪是一种利用电磁场测量带电粒子质量或者分析同位素的重要工具．一台质谱仪的简化结构如图甲所示，粒子源不断产生出大量质量为m、电量为q、初速度不计的粒子“飘入”加速电场中，经电压U加速后，经小孔P沿垂直极板方向进入垂直纸面的磁感应强度为B的匀强磁场中，旋转半周后打在荧光屏上形成亮点．不计粒子重力和粒子间的相互作用力．

（1）若单位时间内从小孔P射出的粒子个数为n，求粒子刚射出时速度大小v₀以及粒子击中荧光屏时对屏的平均作用力大小（击中屏后粒子不反弹）；
（2）受加速场实际结构的影响，从小孔P处射出的粒子方向会有微小角度的发散，现在只讨论在纸面内有相对极板垂线左右相等的微小角度的发散（但速度大小都为v₀），光屏上会出现亮线．若粒子源产生的粒子电量均为q，但质量有m₁、m₂两种（m₂＞m₁），小孔P处粒子速度方向相对极板垂线最大发散角度满足什么条件时两种粒子在屏上形成的亮线恰能重合，并求出这种情况下两种粒子形成亮线的总宽度△x．
（3）利用小孔P处射出的粒子方向微小角度发散的现象可以测定粒子的荷质比，其原理可以粗略地按以下模型讨论；若粒子源产生的是同一种粒子，将磁场的方向改为垂直极板方向（如图乙），把荧光屏从紧靠极板位置开始在磁场中逐渐向下缓慢平移，屏上出现亮斑先变大，后变小的现象，当屏与极板距离为d时，亮斑第一次收缩为一个亮点，求该粒子的荷质比．

Answer 1

分析 （1）由动能定理可以求出粒子的速度，应用动量定理可以求出作用力．
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用牛顿第二定律求出粒子轨道半径，然后求出宽度．
（3）根据粒子做圆周运动的周期公式与匀速运动的位移公式可以求出荷质比．

解答 解：（1）由动能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
对粒子，由动量定理得：-Ft=0-Nmv₀，
时间：t=$\frac{N}{n}$，解得：F=n$\sqrt{2qmU}$，
由牛顿第三定律可知，粒子对屏的平均作用力大小为：n$\sqrt{2qmU}$；
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₀B=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，qv₀B=m₂$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：R₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q}}$，R₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q}}$，
设粒子速度方向左右最大发散角均为θ，由几何关系各，
沿左右最大发散角方向射入磁场的粒子击中光屏上的同一点，且是光斑的最右侧边缘点．
设左右最大发散角均为θ时，粒子m₂光斑的右边缘恰好与粒子m₁光斑的左边缘重合，
如图所示（图中虚线为m₂半圆轨迹和向左发散θ角轨迹，
实线为m₁半圆轨道和向左发散θ角轨迹，
则：2R₂cos=2R₁，解得：cosθ=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}}$，
此时两种粒子光班总宽度为：△x=2R₂-2R₁cosθ，
△x=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2U}{q}}$（$\sqrt{{m}_{2}}$-m₁$\sqrt{\frac{1}{{m}_{2}}}$）；
（3）将发散射入磁场的粒子速度分解为沿磁场方向的速度v和垂直于磁场方向的分速度v_⊥，
v=v₀cosθ，v_⊥=v₀sinθ，由于θ很小，所以cosθ≈1即不同发散角度的所有粒子的v都近似相等，即：v=v₀，
而发散角度不同的各粒子的v_⊥有明显不同，粒子沿v方向做匀速直线运动，
沿v_⊥方向做匀速圆周运动；v方向所有粒子的速度都一样，v_⊥方向速度不同，轨迹半径不同，但圆周运动的周期相同．
这样不同发散角度的粒子都从同一位置出发，沿磁感线方向做半径不同的螺旋线运动，经过一个周期，它们都回旋一周，
同时向前推进相同的距离，这样，他们又汇聚在同一点上，即在光屏形成一个亮点．粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
由匀速运动的位移公式得：d=vT，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{8{π}^{2}U}{{B}^{2}{d}^{2}}$；
答：（1）粒子刚射出时速度大小v₀为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，粒子击中荧光屏时对屏的平均作用力大小为n$\sqrt{2qmU}$．
（2）两种粒子形成亮线的总宽度△x为$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2U}{q}}$（$\sqrt{{m}_{2}}$-m₁$\sqrt{\frac{1}{{m}_{2}}}$）．
（3）该粒子的荷质比为$\frac{8{π}^{2}U}{{B}^{2}{d}^{2}}$．

点评 粒子在电场中加速，在磁场中做匀速圆周运动，分析清楚粒子运动过程是解题的前提与关键，粒子在磁场中做匀速圆周运动洛伦兹力提供向心力，应用动能定理、动量定理、牛顿第二定律即可解题，解题时注意几何知识的应用．