Question

14．如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有一个光滑的细钉，已知0P=$\frac{L}{2}$，在A点给小球一个水平向左的初速度，发现小球恰能到达跟P点在同一竖直线上的最高点B，重力加速度为g，则（不计空气阻力，绳不会被拉断）：
（1）小球到达B点时的速率为多大？
（2）若初速度v₀=2$\sqrt{gL}$，小球能否到达B点？若能到达，在B点绳受到小球的拉力为多大？
（3）若要计空气阻力，且给小球向左的初速度v₀′=3$\sqrt{gL}$时小球恰能到达B点，求空气阻力做的功．

Answer 1

分析 （1）小球恰好能到达最高点B，根据重力提供圆周运动向心力求得到达B时的速率大小；
（2）根据机械能守恒求得小球到达B点的速度，注意判定是否满足到达B点的条件，再根据牛顿第二定律求得绳对小球的拉力大小；
（3）根据动能定理求得空气阻力对小球所做的功．

解答 解：（1）小球恰好到达B点时满足：
mg=$m\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{2}}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{\frac{gL}{2}}$
（2）设小球能从A运动到B，由机械能守恒定律有：
$mg\frac{3L}{2}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{′2}$
解得：${v}_{B}^{′}=\sqrt{gL}$$＞\sqrt{\frac{gL}{2}}$
所以小球能到达B点
在点B，对小球受力分析有：
mg+T=m$\frac{{v}_{B}^{′2}}{\frac{L}{2}}$
代入可解得：T=mg
根据牛顿第三定律可知绳受到小球的拉力T′=T=mg
（3）设小球能从A运动到B，由动能定理有：
$-mg\frac{3L}{2}+{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{′2}$
代入数据可解得：W_f=$-\frac{11}{4}mgL$
答：（1）小球到达B点时的速率为$\sqrt{\frac{gL}{2}}$；
（2）若初速度v₀=2$\sqrt{gL}$，小球能到达B点，在B点绳受到小球的拉力为mg；
（3）若要计空气阻力，且给小球向左的初速度v₀′=3$\sqrt{gL}$时小球恰能到达B点，空气阻力做的功为$-\frac{11}{4}mgL$．

点评 本题考查了牛顿第二定律和动能定理的综合，知道恰好到达最高点的临界情况，即拉力为零，重力提供向心力