Question

20．如图所示，在坐标系xoy中，过原点的直线OC与x轴正向的夹角φ=120°，在OC右侧有一匀强电场：在第二、三象限内有一匀强磁场，其上边界与电场边界重叠、右边界为y轴、左边界为图中平行于y轴的虚线，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里．一带正电荷q、质量为m的粒子以某一速度自磁场左边界上的A点沿x轴正方向射入磁场区域，并从O点射出，粒子射出磁场的速度方向与x轴的夹角θ=30°，大小为v，粒子在磁场中的运动轨迹为纸面内的一段圆弧，且弧的半径为磁场左右边界间距的两倍．粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域，经过一段时间后再次离开磁场．已知粒子从A点射入到第二次离开磁场所用的时间恰好等于粒子在磁场中做圆周运动的周期．忽略重力的影响．求：
（1）A点到x轴的距离；
（2）匀强电场的大小和方向；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间．

Answer 1

分析 （1）结合运动的轨迹图象，判断出圆周运动的圆心即两虚线的交点，再根据洛伦兹力提供向心力，粒子的速度和A到y轴的距离；
（2）粒子进入电场后，在电场力的作用下又由O点返回磁场区域说明电场力的方向一定与运动的方向相反，则电场方向必与v相反；根据时间关系求出粒子在电场中运动的时间，进而求出电场的强度和方向；
（3）粒子出磁场后到进入电场是匀速直线运动，根据轨迹图象，就可以求出从第二次离开磁场到再次进入电场所用的时间．

解答 解：（1）设磁场左右边界间距为d，由几何关系知：OO′=2d，
粒子第一次进入磁场的运动轨迹的圆心为O′，有：$\overline{AD}=R（1-cos{30^0}）$，
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：$qBv=m\frac{v^2}{R}$，
解得：$\overline{AD}=\frac{mv}{qB}（1-\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$；
（2）粒子在磁场中做圆周运动的周期：$T=\frac{2πm}{qB}$，
粒子第一次在磁场中运动时间为t₁，有：t₁=$\frac{30°}{360°}$T=$\frac{1}{12}$T，
依题意，匀强电场的方向与x轴正向夹角应为150°．
由几何关系知，粒子再次从O点进入磁场的速度方向与磁场右边界夹角为60°．
粒子第二次在磁场运动的圆弧的圆心O″必定在直线OC上，且∠OO″P=120°
粒子第二次在磁场中运动时间为t₂，有：${t_1}=\frac{T}{3}$
粒子在电场中运动时间为t₃，依题意有：t₃=T-（t₁+t₂）
粒子在电场中有：-v=v-at₃，
由牛顿第二定律的：qE=ma，
解得：E=$\frac{12Bv}{7π}$；
（3）粒子自P射出后沿直线运动，由P′再次进入电场，由几何关系有：∠O″P′P=30°
三角形OPP′为等腰三角形，粒子在P、P′运动时间为t₄，有：${t_4}=\frac{{\overline{P{P^/}}}}{v}$
由几何关系得：$\overline{OP}=\sqrt{3}R$，
解得：t₄=$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$；
答：（1）A点到x轴的距离为（1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）$\frac{mv}{qB}$；
（2）匀强电场的大小为$\frac{12Bv}{7π}$，方向：与v的方向相反；
（3）粒子从第二次离开磁场到再次进入电场时所用的时间为$\frac{\sqrt{3}m}{qB}$．

点评 带电粒子在磁场中 的运动，正确地画出运动的轨迹是解题的关键，象该题需要两次画出不同的轨迹．题目的难度较大．