题目内容
【题目】2019年4月10日21点,天文学家在全球六地(比利时布鲁塞尔、智利圣地亚哥、中国上海和台北、日本东京、美国华盛顿)同步发布了人类首张黑洞照片。探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时,发现了LMCX﹣3双星系统,它由可见星A和不可见的暗星B构成.将两星视为质点,不考虑其他天体的影响,A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动,它们之间的距离保持不变,如图所示.引力常量为G,由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T.
(1)可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体(视为质点)对它的引力,设A和B的质量分别为m1、m2,试求m′(用m1、m2表示);
(2)求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式;
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设A、B的圆轨道半径分别为,A、B做匀速圆周运动的角速度相同,其为。
由牛顿运动定律:
设A、B之间的距离为r,又
由上述各式得:,①
由万有引力定律,得
将①代入得
令,比较可得:②
(2)由牛顿第二定律,有:③,
又可见星A的轨道半径为:④,
由②③④式可得,
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