题目内容
【题目】2019年4月10日21点，天文学家在全球六地（比利时布鲁塞尔、智利圣地亚哥、中国上海和台北、日本东京、美国华盛顿）同步发布了人类首张黑洞照片。探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX﹣3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成．将两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示．引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T．
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m′的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m′（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）设A、B的圆轨道半径分别为
，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，其为
。
由牛顿运动定律：
设A、B之间的距离为r，又
由上述各式得：
，①
由万有引力定律，得
将①代入得
令
，比较可得：
②
（2）由牛顿第二定律，有：
③，
又可见星A的轨道半径为：
④，
由②③④式可得，
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