题目内容

(2011?湖南二模)如图甲所示,两平行金属板接有如图乙所示随时间t变化的电压U,两板间电场可看作均匀的,且两板外无电场,板长L=0.2m,板间距离d=0.2m.在金属板右侧有一边界为MN的区域足够大的匀强磁场,MN与两板中线OO'垂直,磁感应强B=5X10-3T,方向垂直纸面向里.现有带正电的粒子流沿两板中线OO'连续射人电场中,已知每个粒子速度V0=105m/s,比荷q/m=108C/kg,重力忽略不计,在每个粒子通过电场区域的极短时间内,电场可视作是恒定不变的.

(1)试求带电粒子射出电场时的最大速度.
(2)证明:在任意时刻从电场射出的带电粒子,进人磁场时在MN上的人射点和在MN上出射点的距离为定值,写出该距离的表达式.
(3)从电场射出的带电粒子,进人磁场运动一段时间后又射出磁场,求粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间.
分析:(1)当粒子从极板的右边缘射出时,粒子的速度最大,根据粒子在匀强电场中的偏转,通过偏转位移求出偏转的电压,再通过动能定理求出粒子射出电场时的最大速度.
(2)设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ,根据类平抛运动求出射出电场时的速度与初速度的关系,再根据带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,求出半径的表达式,从而求出入射点与出射点的距离表达式,看是否与夹角θ有关.
(3)当带电粒子在磁场中运动的圆心角最大,运动的时间最长,圆心角最小,时间最短.类平抛运动竖直方向上的分速度越大,粒子射出电场速度方向与MN间夹角越小,圆心角越大,根据几何关系求出最大圆心角和最小圆心角,即可求出粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间.
解答:解:(1)偏转电压由0到200V的变化中,粒子流可能都能射出电场,也可能只有部分粒子能射出电场.
设偏转的电压为U0时,粒子刚好能经过极板的右边缘射出.
d
2
=
1
2
U0q
md
(
L
v0
)2

得U0=100V.
知偏转电压为100V时,粒子恰好能射出电场,且速度最大.
根据动能定理得,
1
2
mvm2-
1
2
mv02=q
U0
2

vm=
2
×105m/s=1.41×105m/s

方向:斜向右上方或斜向右下方,与初速度方向成45°夹角.
(2)设粒子射出电场速度方向与MN间夹角为θ.粒子射出电场时速度大小为:
v=
v0
sinθ

qvB=m
v2
R

解得R=
mv
qB
=
mv0
qBsinθ

因此粒子射进磁场点与射出磁场点间距离为:
s=2Rsinθ=
2mv0
qB

由此可看出,距离s与粒子在磁场中运行速度的大小无关,s为定值.
(3)由(1)中结论可知,若粒子射出磁场的竖直分速度越大,则θ越小,故θ最小值为θm=45°,此情景下圆弧对应的圆心角为270°,入射粒子在磁场中运行最长时间为:
tmax=
3
4
T
=
3πm
2qB

同理.粒子由右上方射入磁场时且速度方向与MN间夹角为45°时在磁场中运行的时间最短,
tmin=
1
4
T=
πm
2qB

答:(1)带电粒子射出电场时的最大速度为1.41×105m/s.
(2)距离的表达式为
2mv0
qB

(3)粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间分别为
3πm
2qB
πm
2qB
点评:本题考查了带电粒子在电场中的偏转和在磁场中做匀速圆周运动,关键掌握处理类平抛运动的方法,掌握粒子在磁场中运动的轨道半径公式和周期公式,以及运动时间与圆心角的关系.
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