Question

10．如图所示，半径R=2.8m的光滑半圆轨道BC与倾角θ=37°的粗糙斜面轨道在同一竖直平面内，两轨道间由一条光滑水平轨道AB相连，A处用光滑小圆弧轨道平滑连接，B处与圆轨道相切．在水平轨道上，两静止小球P，Q压紧轻质弹簧后用细线连在一起．某时刻剪断细线后，小球P向左运动到A点时，小球Q沿圆轨道到达C点；之后小球Q落到斜面上时恰好与沿斜面向下运动的小球P发生碰撞．已知小球P的质量m_l=3.2kg，小球Q的质量m₂=1kg，小球P与斜面间的动摩擦因数μ=0.5，剪断细线前弹簧的弹性势能E_P=168J，小球到达A点或B点时已和弹簧分离．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小球Q运动到C点时的速度；
（2）小球P沿斜面上升的最大高度h；
（3）小球Q离开圆轨道后经过多长时间与小球P相碰．

Answer 1

分析 （1）对于弹簧弹出两球的过程，运用动量守恒定律和机械能守恒定律列式，求出两球获得的速度．再对Q，运用动能定理求小球Q运动到C点时的速度；
（2）Q球离开C点做平抛运动，根据平抛运动的规律以及几何关系得到两球的位移关系，求出平抛运动的时间，从而求得Q球的高度，即可求得P球沿斜面上升的最大高度h；
（3）根据牛顿第二定律求出小球P沿斜面运动的加速度，由速度公式求得P上升到最高点的时间，由位移公式列式求解．

解答 解：（1）两球被弹开的过程，取向左为正方向，由动量守恒定律得：
   m_lv_l-m₂v₂=0
由能量守恒定律得 E_P=$\frac{1}{2}$m_lv_l²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
解得 v_l=5m/s，v₂=16m/s
Q球从B运动到C点的过程，由动能定理得
-2m₂gR=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
解得小球Q运动到C点时的速度 v_C=12m/s
（2）设小球P在斜面上向上运动的加速度为a₁．
根据牛顿第二定律得
    mgsinθ+μmgcosθ=ma₁．
解得 a₁=10m/s²．
故上升的最大高度为 h=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$sinθ=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$×0.6m=0.75m
（3）设两小球相遇点距离A点为x，从A点上升到两小球相遇时间为t，小球P沿斜面下滑的加速度为a₂．
由mgsinθ-μmgcosθ=ma₂得
解得 a₂=2m/s²．
小球P上升到最高点的时间 t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=0.5s
据题得 2R-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=h-$\frac{1}{2}{a}_{2}（t-{t}_{1}）^{2}$sin37°
解得 t=1s
答：
（1）小球Q运动到C点时的速度为12m/s；
（2）小球P沿斜面上升的最大高度h是0.75m；
（3）小球Q离开圆轨道后经过1s时间与小球P相碰．

点评 本题首先要理清物体的运动过程，抓住每个过程的物理规律，找出两车之间的关系，结合几何知识求解．