题目内容
【题目】如图所示，在圆形区域中（足够大），有垂直于纸面向内随时间均匀增加的磁场
．在与圆心
距离为
的位置
处有一个钉子，钉住了一根长度为
，质量为
的均匀绝缘棒的中心，绝缘棒能在平面内自由无摩擦地自由转动．绝缘棒上半截均匀带正电，电量为
，下半截均匀带负电，电量为
．初始时刻绝缘棒垂直于
（1）计算在点处钉子受到的压力
（2）若绝缘棒受到微小扰动，在平面内来回转动起来（速度很小，洛仑兹力可以忽略），求证此运动是简谐振动，并计算周期．（绝缘棒绕质心的转动惯量为
）
【答案】（1）
（2）
【解析】
设由变化的磁场产生的涡旋电场大小为
，则有
，
得到
，方向垂直于与
的连线．
则杆上场强分量为
，
．
（1）由于上下电量相反，
方向的场强为定值，故钉子在方向不受力．
在
方向上，其所受电场力（考虑到上下对称）为
．
故钉子压力为．（由于电场和坐标成正比，因而也可以使用平均电场计算电场力）
（2）设绝缘棒转过一微小角度
，此时，方向的电场力会提供回转力矩．（由于力臂是一阶小量，横坐标变化引起的电场力改变也是一阶小量，忽略二阶以上小量，因而不必计算电场力改变量产生的力矩．由于电场几乎是均匀的，所以正电荷受力的合力力臂为
）
，而
，则
．
这是简谐方程，故绝缘棒的运动是简谐运动，其周期为．
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