Question

4．如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A、B卫星的轨道半径分别为r_a和_b，某时刻A、B两卫星距离到达最近，已知卫星A的运行周期为T，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（　　）

• A． $\frac{T}{2（\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}）^{3}}+1）}$
• B． $\frac{T}{\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}）^{3}}-1}$
• C． $\frac{T}{2（\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}）^{3}}-1）}$
• D． $\frac{T}{\sqrt{（\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}）^{3}}+1}$

Answer 1

分析 两颗人造地球卫星A和B绕地球做匀速圆周运动，应用万有引力提供向心力列出等式比较求得卫星B的运行周期．
卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，当卫星B转过的角度与卫星A转过的角度之差等于π时，卫星再一次相距最远．

解答 解：两颗人造地球卫星A和B绕地球做匀速圆周运动，应用万有引力提供向心力列出等式：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
已知卫星A的运行周期为T，A、B卫星的轨道半径分别为r_a和_b，
所以卫星B的运行周期为T′=$\sqrt{{（\frac{{r}_{b}}{{r}_{a}}）}^{3}}$T
它们再一次相距最远时，一定是B比A多转了半圈，有：
$\frac{t}{T′}$-$\frac{t}{T}$=$\frac{1}{2}$
解得：t=$\frac{T}{2[\sqrt{{（\frac{{r}_{a}}{{r}_{b}}）}^{3}}-1]}$，
故选：C．

点评 本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．