Question

如图所示，ab是半径为R的圆的一条直径，该圆处于匀强电场中，场强大小为E，方向与圆周平面平行．在圆周平面内将质量为m，带正电为q的粒子，从a点同时以相同的动能在圆周平面向各个方向抛出，粒子会经过圆周上不同的点．在这些点中，到达c点的粒子动能最大，已知ac和ab间的夹角θ=30°，若不计重力和空气阻力及粒子间的相互作用力，求：
（1）电场方向与ab间的夹角α为多大？
（2）若粒子在a点时的初速度与电场方向垂直，则粒子恰好能落在C点，则初速度为多大？
（3）若在a点时的初速度与电场方向垂直的粒子恰好落在C点时，是否还有其它粒子同时落到圆周上．若有，求出其它粒子在圆周上的落点到C点的距离；若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）小球在匀强电场中，从A点运动到C点，根据动能定理qU_AC=E_k，因为到达C点时的小球的动能最大，所以U_AC最大，即在圆周上找不到与C电势相等的点．所以与C点电势相等的点在过C点的切线上．再根据电场线与等势线垂直，可以画出电场线．
（2）小球做类平抛运动，根据平抛运动的知识分析小球的运动情况，分别在水平方向和竖直方向上列式求解．
（3）通过类比，看成类平抛运动，结合运动学公式与牛顿第二定律，及运动的合成与分解，即可求解．

解答：解：（1）小球在匀强电场中，从a点运动到c点，根据动能定理qU_ac=E_k
因为到达c点时的小球的动能最大，所以Uac最大，即在圆周上找不到与c电势相等的点．且由a到c电场力对小球做正功．
过c点作切线，则cF为等势线．
过a点作cF的垂线，则该线为电场线，场强方向如图示．
∵∠cab=30°
∴连接co∠aco=30°
∵co∥am
∴电场方向与ac间的夹角θ为30°
（2）小球只受电场力，做类平抛运动．
水平方向上：x=Rcos30°=v₀t
竖直方向上：y=R+Rsin30°=

qEt2

2m

由以上两式得：E_k=

1

2

mv²=

1

8

qER
因此初速度为v=

qER 4m

（3）根据题意可知，粒子做类平抛运动，由运动的合成与分解，在电场力的方向，在相同的电场力作用下，虽初动能相同，但因质量的不同，导致加速度的不一，由运动学公式s=

1

2

at2，可知，当加速度大的，要确保时间相同，则位移必须大，而加速度大的，质量偏小，则速度偏大，发生的垂直电场力方向的位移偏大，因此不可能同时落在同一圆周上，故没有其它粒子同时落到圆周上．
答：（1）电场的方向与AC间的夹角为30°；
（2）小球在A点的初速度与电场方向垂直，小球恰能落到C点，则初速度为

qER 4m

；
（3）没有同时落在圆周上的粒子．

点评：本题关键考查对电场力做功公式W=qEd的理解和应用，d是沿电场方向两点间的距离．此题要求熟练掌握功能关系和类平抛运动，属于难题．