Question

8．在光滑的水平面上有一质量m为静止的物块（可视为质点），在物块的正上方L处的O点固定一轻绳，绳的另一端系一个质量为2m的小球；在物块下方光滑的水平面上停了一质量M=8m的小车，小车粗糙的上表面与物块所在水平面在同一水平线上；现将小球拉至绳子与竖向成60°角，由静止开始释放，在最低点与物块发生弹性碰撞，碰后物块滑上小车，已知物块车的动摩擦因素为μ，重力加速度为g；求：
（1）小球与物块碰后的速度；
（2）若物块最后未滑离小车，小车的最短长度．

Answer 1

分析 （1）小球由静止释放的过程，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球与物块碰撞前的速度．根据动量守恒定律和机械能守恒定律求小球与物块碰后的速度；
（2）物块在小车上滑行时，系统的动量守恒，能量也守恒，由动量守恒定律和求解共同速度，再由能量守恒定律求小车的最短长度．

解答 解：（1）设小球最低点与物块碰撞前的速度大小为v．小球向下摆动的过程，由机械能守恒定律得：
2mgL（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$•2mv²；
则得：v=$\sqrt{gL}$
对于碰撞过程，取水平向右为正方向，由动量守恒和动能守恒得：
  2mv=2mv₁+mv₂
  $\frac{1}{2}$•2mv=$\frac{1}{2}$•2mv₁²+$\frac{1}{2}$mv₂²．
解得，v₁=$\frac{1}{3}$v=$\frac{1}{3}$$\sqrt{gL}$，v₂=$\frac{4}{3}$v=$\frac{4}{3}$$\sqrt{gL}$
即小球与物块碰后的速度为$\frac{1}{3}$$\sqrt{gL}$．
（2）物块获得速度后在小车上向右滑动，最终两者速度相同，设共同速度为v′，取水平向右正方向，根据动量守恒定律得：
mv₂=（m+M）v′
又 M=8m
解得：v′=$\frac{1}{9}$v₂=$\frac{4}{27}$$\sqrt{gL}$
根据能量守恒定律得：μmgd=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$（m+M）v′²
解得：小车的最短长度为：d=$\frac{64L}{81μ}$
答：（1）小球与物块碰后的速度为$\frac{1}{3}$$\sqrt{gL}$；
（2）若物块最后未滑离小车，小车的最短长度是$\frac{64L}{81μ}$．

点评 本题的关键分析清楚物体运动过程，把握每个过程遵守的物理规律是关键．要知道根据能量守恒定律是求相对位移是常用的方法．