Question

如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，板上有正对的小孔，N板右侧有两个宽度分别为d和2d的匀强磁场区域，磁感应强度大小分别为2B和B，方向分别垂直于纸面向里和向外．板左侧电子经小孔O₁进入两板间，O₂在磁场边界上，O₁ O₂连线过板上正对的小孔且与磁场边界垂直，电子的质量为m，电荷量大小为e，电子重力和进入两板间初速度可以忽略．求：
（1）当两板间电势差为U₀时，求从N板小孔射出的电子的速度v₀；
（2）两金属板间电势差U在什么范围内，电子不能进入右侧磁场区域；
（3）如果电子从右边界的P点穿出，P与O₂间距离为2d，求两金属板间电势差U大小．

Answer 1

分析：（1）电子在电场中被直线加速，由动能定理可求出电子从N板小孔射出的速度v₀大小．
（2）当电子进入匀强磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，当其运动轨迹的半径小于磁场宽度d时，不能进入右侧磁场区域；根据半径公式r=

mv

qB

和动能定理结合求解．
（3）由几何关系可列出电子在右侧磁场中的轨迹半径，再由半径公式r=

mv

qB

和动能定理结合求解．

解答：解：（1）根据动能定理，得：
  eU0=

1

2

m

v

2 0

 
 解得：v0=

2eU0 m

（2）欲使电子不能穿过磁场区域而打在荧光屏上，应有  r=

mv

2eB

＜d． 
而eU=

1

2

mv2
由此即可解得，U＜

2d2eB2

m

（3）若电子在左边磁场区域做圆周运动的轨道半径为r_l，右边磁场区域做圆周运动的轨道半径为r₂，有r₂=2r_l．
则由轨迹图，由几何关系可得：

.

O2P

=r1-

r 2 1 -d2

+r2-

r 2 2 -(2d)2

即  2d=3r1-3

r 2 1 -d2

解得：r1=

13

12

d
注意到 r1=

mv

2eB

和 eU=

1

2

mv2
解得，U=

169eB2d2

72m

答：
（1）当两板间电势差为U₀时，从N板小孔射出的电子的速度v₀为

2eU0 m

．
（2）两金属板间电势差U在U＜

2d2eB2

m

范围内，电子不能进入右侧磁场区域；
（3）如果电子从右边界的P点穿出，P与O₂间距离为2d，两金属板间电势差U大小是

169eB2d2

72m

．

点评：解答本题的关键是运用几何知识，挖掘出题中隐含条件是：粒子能打到荧光屏离O点最远的即为圆弧轨道半径与磁场宽度相等时的粒子．