题目内容

4．如图所示，轻弹簧一端固定在水平地面上，另一端点在O位置．质量为m=2kg的物块A（可视为质点）以初速度v0=$\sqrt{10}$m/s从弹簧正上方P点向下运动，与弹簧接触后压缩弹簧，将弹簧上端压到O′点位置后，A又被弹簧弹回．物块A离开弹簧后，恰好回到P点．已知OP的距离为x0=0.8m，整个装置放在某种介质中，整个运动过程中物块受到的介质阻力为物块重力的0.25倍，弹簧均在弹性限度内，取g=10m/s2．求：
（1）弹簧在最低点O′处的弹性势能；
（2）在轻弹簧旁边并排放置另一根与之完全相同的弹簧．若将另一个与A材料相同的物块B（可视为质点）与两根弹簧上端拴接，设B的质量为物块A的k倍．现将A与B并排在一起，使两根弹簧仍压缩到O′点位置，然后从静止释放，最终A能离开B但未冲过P点，求k需满足的条件？

分析 （1）对A物体从P点到返回P点的过程，运用动能定理列式．A物体从P点到O′的过程，运用能量守恒定律列式，联立求解弹簧在最低点O′处的弹性势能．
（2）A物体在与B物体分离时，由牛顿第二定律分别对A和AB整体列方程，求出二者分离时弹簧的弹力，确定此时弹簧的状态．再对AB刚好分离和A物体从分离时到刚好能到达P点的过程分别运用能量守恒定律列式，即可求解．

解答 解：（1）A物体从P点到返回P点的过程，由动能定理有
-mg（x0+x1）-0.25mg（x0+x1）=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$     ①
A物体从P点到O′的过程，由能量守恒定律得：
  Ep=mg（x0+x1）-0.25mg（x0+x1）+$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$     ②
由①②并代入数据解得    Ep=25J                    
（2）A物体在与B物体分离时，由牛顿第二定律有  0.25mg+mg=ma    ③
对于AB整体有  （k+1）mg+0.25（k+1）mg+F=（k+1）ma  ④
由③④并代入数据解得   F=0  即二者在弹簧原长时分离
刚好分离时，对系统有：2Ep=（1+k）mgx1+0.25（1+k）mgx1 ⑤
解得  k=9                                   
A物体从分离时到刚好能到达P点的过程中，设刚好分离时的速度为v，有：
-（kmg+0.25mg）x0=0-$\frac{1}{2}•km{v}^{2}$               ⑥
系统从O′到恰好分离的过程，由能量守恒定律有：
  （k+1）mgx1+0.25（k+1）mgx1+$\frac{1}{2}（k+1）m{v}^{2}$=2Ep       ⑦
由⑥⑦并代入数据解得解得  k=1            
故1≤k≤9
答：
（1）弹簧在最低点O′处的弹性势能是25J；
（2）k需满足的条件是1≤k≤9．

点评 本题关键要灵活选择过程，多次根据动能定理和能量守恒定律列式，要抓住弹簧弹性势能的关系，寻找两种情况下相等的量．

练习册系列答案
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（2）滑块与传送带间的动摩擦因数μ；
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A．圆环沿细杆从P运动到O的过程中，速度可能先增大后减小
B．圆环沿细杆从P运动到O的过程中，加速度可能先增大后减小
C．无论增大圆环所带的电荷量或增大点电荷Q的电荷量，其他条件不变，圆环离开细杆后仍然能绕点电荷做圆周运动
D．将圆环从杆上P的上方由静止释放，其他条件不变，圆环离开细杆后仍然能绕点电荷做圆周运动
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（1）物体做往返运动的过程中，通过B时的速度大小；
（2）最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力．
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B．该材料的电阻随电流的先增大后不变
C．该材料的电阻随电流的增大而一直减小
D．该材料的电阻随电流的先减小后不变
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A．B．C．D．

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