Question

3．如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R），小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动，两球先后以相同的速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法不正确的是（　　）

• A． 当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所需向心力大5mg
• B． 当v=$\sqrt{5gR}$时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
• C． 速度v只至少为2$\sqrt{gR}$，才能使两球在管内做圆周运动
• D． 只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg

Answer 1

分析 小球在圆环的内侧运动，相当于圆周运动中的杆的模型，此时在最高的速度是可以为零的，在整个运动的过程中小球的机械能守恒，可以求得小球到达最低端是的速度和需要的向心力的大小．

解答 解：A、B、C、由于管中没有摩擦力的作用，所以球的机械能守恒，当小球b在最高点对轨道无压力，即只有重力做为向心力，
所以mg=m$\frac{{{v}_{b}}^{2}}{R}$，所以在最高点时b球的速度的大小为$\sqrt{gR}$，
所以C错误；
从最高点到最低点，由机械能守恒可得，mg•2R+$\frac{1}{2}$mv_b²=$\frac{1}{2}$mv²，
对于a球，在最低点是，由向心力的公式可得 F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
所以：v=$\sqrt{5gR}$
F-mg=5mg，
所以此时的向心力的大小为5mg，
所以小球a比小球b所需向心力大4mg，故A错误，B正确，C错误；
D、最高点时F₁=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$-mg，
在最低点时，F₂=m$\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$+mg，
由机械能守恒有$\frac{1}{2}$mv₁²+mg2R=$\frac{1}{2}$mv₁²，
所以F₂-F₁=6mg．所以只要v≥$\sqrt{5gR}$，小球a对轨道最低点的压力比小球b对轨道最高点的压力大6mg．故D正确．
故选：BD．

点评 该题考查竖直平面内的圆周运动，内管可以对小球提供支持力，可化为轻杆模型，在最高点时，小球速度可以为零，与绳的模型一定要区分开．