Question

15．科学家在南极冰层中发现了形成于30亿年前的火星陨石，并从中发现了过去微生物的生命迹象，因此火星陨石变得异常珍贵．今年1月，中国新闻网报道2011年7月在摩洛哥坠落的陨石被证实来自火星．某同学计划根据平时收集的火星资料（如图所示）计算出火星的密度，再与这颗陨石的密度进行比较验证，下列计算火星密度的公式正确的是（G为万有引力常量，忽略火星自转的影响，将火星视为球体）（　　）

• A． ρ=$\frac{3{g}_{0}}{πGd}$
• B． ρ=$\frac{{g}_{0}{T}^{2}}{3πd}$
• C． ρ=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
• D． ρ=$\frac{6M}{π{d}^{3}}$

Answer 1

分析 火星的近地卫星由火星的万有引力提供其做圆周运动所需的向心力，其轨道半径近似等于火星的半径，万有引力近似等于近地卫星的重力，根据牛顿第二定律可求出火星的质量，由密度求出火星的密度．根据表格的信息，已知火星的质量和直径，可求出火星的体积，也可以直接由密度公式求出火星的密度．

解答 解：设近地卫星的质量为m，火星的质量为M．
对近地卫星，火星的万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，则有$\frac{GMm}{{（\frac{d}{2}）}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$×$\frac{d}{2}$
则得  M=$\frac{{{π}^{2}d}^{3}}{2{GT}^{2}}$
火星的密度为  ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$
又火星对近地卫星的万有引力近似等于近地卫星的重力，则有
   m₀g₀=$\frac{GMm}{{（\frac{d}{2}）}^{2}}$
解得，M=$\frac{{{g}_{0}d}^{2}}{4G}$
火星的密度为 ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{{3g}_{0}}{2πGd}$．
已知火星的质量和直径，可求出火星的体积，则得
  V=$\frac{1}{6}$πd³
火星的密度为 ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{6M}{π{d}^{3}}$，
故选：CD

点评 本题是卫星类型，求解火星的质量，即中心天体的质量通常有两种方法：一利用圆周运动知识，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律求解；根据万有引力近似等于近地卫星的重力求解．