Question

12．如图所示，两条平行的光滑金属导轨固定在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨间距为L，导轨上端连接一个阻值为3Ω的定值电阻R，在水平虚线L₁、L₂间有一与导轨所在斜面垂直向上的匀强磁场B，磁场区域的宽度为d，导体棒a、b放在斜面上，a棒的质量m_a=0.2kg，电阻R_a=2Ω；b棒的质量m_b=0.1kg，电阻R_b=2Ω，它们分别从图中M、N处同时由静止开始在导轨上无摩擦向下滑动，都能匀速穿过磁场区域，且当b棒刚穿出磁场时a棒正好进入磁场，重力加速度g=10m/s²，不计棒之间的相互作用，不计金属导轨的电阻，导体棒始终与导轨垂直且与导轨接触良好，导轨足够长．求：
（1）安培力对导体棒a、b的作功之比W_a：W_b为多少．
（2）导体棒a、b在磁场中运动时速度之比V_a：V_b为多少．
（3）如果d=0.4m，则a棒开始运动时距虚线L₁的距离为l_a是多少？

Answer 1

分析 （1）根据金属杆的受力平衡即安培力等于重力的分力解出两杆的安培力大小，克服安培力做功等于重力所做的功；
（2）根据两棒都是匀速穿过磁场区域，求出a、b的速度，结合a、b速度之比．
（3）结合运动学公式求出a棒开始运动时距虚线L₁的距离l_a．

解答 解：（1）导体棒a通过磁场时所受的安培力 F_a=m_agsinθ，
安培力对导体棒a作功  W_a=m_agsinθ•d
同理：安培力对导体棒b作功 W_b=m_bgsinθ•d
故W_a：W_b=m_a：m_b=2：1
（2）设b在磁场中匀速运动时速度为v_b，感应电流 I_b=$\frac{BL{v}_{b}}{{R}_{总1}}$
b棒所受的安培力 F_b=BI_bL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{b}}{{R}_{总1}}$
由平衡条件得：F_b=m_bgsinθ
联立解得：v_b=$\frac{{m}_{b}g{R}_{总1}sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
同理：v_a=$\frac{{m}_{a}g{R}_{总2}sinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$
根据电路的结构可得：
  R_总1=R_b+$\frac{R{R}_{a}}{R+{R}_{a}}$=3.2Ω，R_总2=R_a+$\frac{R{R}_{b}}{R+{R}_{b}}$=3.2Ω
则得：v_a：v_b=m_a：m_b=2：1
（3）根据两棒的运动关系可得：
  d=v_bt
  v_a=v_b+gsinθt，
联立解得 $\frac{{v}_{a}^{2}}{gsinθ}$=1.6m
故a棒开始运动时距虚线L₁的距离为 l_a=$\frac{{v}_{a}^{2}}{2gsinθ}$=0.8m
答：（1）安培力对导体棒a、b的作功之比W_a：W_b为2：1．
（2）导体棒a、b在磁场中运动时速度之比V_a：V_b为2：1．
（3）如果d=0.4m，则a棒开始运动时距虚线L₁的距离为l_a是0.8m．

点评 解决本题的关键根据金属杆的受力平衡，推导出v金属杆下落到磁场的速度，掌握导体切割产生的感应电动势大小，以及应用运动学关系式解决题目．