Question

（2008?泰州模拟）如图甲所示，光滑绝缘水平面上一矩形金属线圈abcd的质量为m、电阻为R、ad边长度为L，其右侧是有左右边界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，ab边长度与有界磁场区域宽度相等，在t=0时刻线圈以初速度v₀进入磁场，在t=T时刻线圈刚好全部进入磁场且速度为v₁，此时对线圈施加一沿运动方向的变力F，使线圈在t=2T时刻线圈全部离开该磁场区，若上述过程中线圈的v-t图象如图乙所示，整个图象关于t=T轴对称．
（1）求t=0时刻线圈的电功率；
（2）线圈进入磁场的过程中产生的焦耳热和穿过磁场过程中外力F所做的功分别为多少？
（3）若线圈的面积为S，请运用牛顿第二运动定律和电磁学规律证明：在线圈进人磁场过程中v₀-v₁=

B2LS

mR

．

Answer 1

分析：（1）t=0时，母亲线圈产生的感应电动势E=BLv₀，电功率P=

E2

R

．
（2）线圈进入磁场的过程中动能转化为焦耳热，由能量守恒求焦耳热．外力做功一是增加动能，二是克服安培力做功，由功能关系求得外力做功．
（3）运用微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速运动，由公式△v=at列式，得到速度的变化量与电流的关系，由电量公式公式Q=It，得到速度的变化量与感应电荷量的关系，再根据法拉第定律、欧姆定律得到感应电荷量Q=

△φ

R

=

BS

R

，联立即可得到证明．

解答：解：（1）t=0时，E=BLv₀
线圈电功率P=

E2

R

=

B2L2v02

R

（2）线圈进入磁场的过程中动能转化为焦耳热
   Q=

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²
外力做功一是增加动能，二是克服安培力做功
     W_F=△E_k+Q=mv₀²-mv₁²
（3）根据微元法思想，将时间分为若干等分，每一等分可看成匀变速
  v_n-v_n+1=

BLIn

m

tn
∴v₀-v₁=

BL

m

（I₁t₁+I₂t₂+…+I_nt_n）
其中I₁t₁+I₂t₂+…+I_nt_n=Q
电量Q=It=

△φ

R

=

BS

R

∴v₀-v₁=

B2LS

mR

答：
（1）t=0时刻线圈的电功率是

B2L2v02

R

；
（2）线圈进入磁场的过程中产生的焦耳热和穿过磁场过程中外力F所做的功分别为

1

2

mv₀²-

1

2

mv₁²和mv₀²-mv₁²．
（3）证明略．

点评：解决本题的关键能够熟练运用能量守恒定律，知道线圈进磁场的过程和出磁场过程产生的热量相等．并能运用微元法处理非匀变速运动的问题．