题目内容
如图所示，直角坐标系位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的方向垂直xOy平面向外，电场线方向平行于y轴．一质量为m．电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点以水平速度v0向右抛出，与x轴成45°角经x轴上M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从坐标系原点第一次离开电场和磁场．不计空气阻力，重力加速度为g．求：（1）电场强度E的大小和方向；
（2）磁感应强度的大小；
（3）求小球从A运动到O的总时间．
分析：（1）小球在电场和磁场的复合场中恰能做匀速圆周运动，电场力与重力必须平衡，列式可求解电场强度E的大小，判断出E的方向．
（2）小球从A运动到M做平抛运动，根据平抛运动的规律求出小球进入复合场时的速度和OM．小球在复合场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力．由几何知识求出轨迹半径，根据牛顿第二定律和向心力公式求解磁感应强度的大小．
（3）根据小球在电场中做类平抛运动，结合运动学公式，可求出运动的时间；再由在磁场中做匀速圆周运动，结合圆心角及周期公式，即可求解总时间．
（2）小球从A运动到M做平抛运动，根据平抛运动的规律求出小球进入复合场时的速度和OM．小球在复合场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力．由几何知识求出轨迹半径，根据牛顿第二定律和向心力公式求解磁感应强度的大小．
（3）根据小球在电场中做类平抛运动，结合运动学公式，可求出运动的时间；再由在磁场中做匀速圆周运动，结合圆心角及周期公式，即可求解总时间．
解答：
解：（1）小球在电场和磁场的复合场中恰能做匀速圆周运动，所受的电场力与重力必须平衡，则有：
qE=mg
解得：E=
；
由于小球带正电，故电场方向竖直向上．
（2）小球从A运动到M做平抛运动，根据平抛运动的规律得：
在M点有 vy=v0tan45°，vy=gt，OM=v0t
联立解得：OM=
则小球做匀速圆周运动的速度 v=
v0．
设小球做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得：
2rsin45°=OM
得，r=
根据洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=m
解得：B=
；
（3）小球在电场中做类平抛运动，将运动分解成竖直方向与水平方向，则有运动时间为t1=
=
；
而小球在磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为t2=
T=
×
=
；
因此小球从A运动到O点的时间为t=t1+t2=
(1+
)；
答：（1）电场强度E的大小为
，方向竖直向上；（2）磁感应强度的大小为
；（3）求小球从A运动到O的总时间
(1+
)．
解：（1）小球在电场和磁场的复合场中恰能做匀速圆周运动，所受的电场力与重力必须平衡，则有：qE=mg
解得：E=
| mg |
| q |
由于小球带正电，故电场方向竖直向上．
（2）小球从A运动到M做平抛运动，根据平抛运动的规律得：
在M点有 vy=v0tan45°，vy=gt，OM=v0t
联立解得：OM=
| ||
| g |
则小球做匀速圆周运动的速度 v=
| 2 |
设小球做匀速圆周运动的半径为r，由几何关系得：
2rsin45°=OM
得，r=
| ||||
| 2g |
根据洛伦兹力提供向心力，得：
qvB=m
| v2 |
| r |
解得：B=
| 2mg |
| qv0 |
（3）小球在电场中做类平抛运动，将运动分解成竖直方向与水平方向，则有运动时间为t1=
| v⊥ |
| g |
| v0 |
| g |
而小球在磁场中做匀速圆周运动，运动的时间为t2=
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| mv |
| Bq |
| 3 |
| 4 |
| πv0 |
| g |
因此小球从A运动到O点的时间为t=t1+t2=
| v0 |
| g |
| 3π |
| 4 |
答：（1）电场强度E的大小为
| mg |
| q |
| 2mg |
| qv0 |
| v0 |
| g |
| 3π |
| 4 |
点评：本题要掌握平抛运动的处理方法，粒子在磁场中做匀速圆周运动，能正确的画出运动轨迹，并根据几何关系确定各量之间的关系．
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