题目内容
【题目】如图甲所示，半径为r的金属细圆环水平放置，环内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B随时间t的变化关系为
（k>0，且为已知的常量）。
（1）已知金属环的电阻为R。根据法拉第电磁感应定律，求金属环的感应电动势
和感应电流I；
（2）麦克斯韦电磁理论认为：变化的磁场会在空间激发一种电场，这种电场与静电场不同，称为感生电场或涡旋电场。图甲所示的磁场会在空间产生如图乙所示的圆形涡旋电场，涡旋电场的电场线与金属环是同心圆。金属环中的自由电荷在涡旋电场的作用下做定向运动，形成了感应电流。涡旋电场力F充当非静电力，其大小与涡旋电场场强E的关系满足
。如果移送电荷q时非静电力所做的功为W，那么感应电动势
。
图甲 图乙
a．请推导证明：金属环上某点的场强大小为
；
b．经典物理学认为，金属的电阻源于定向运动的自由电子与金属离子（即金属原子失去电子后的剩余部分）的碰撞。在考虑大量自由电子的统计结果时，电子与金属离子的碰撞结果可视为导体对电子有连续的阻力，其大小可表示为
（b>0，且为已知的常量）。已知自由电子的电荷量为e，金属环中自由电子的总数为N。展开你想象的翅膀，给出一个合理的自由电子的运动模型，并在此基础上，求出金属环中的感应电流I。
（3）宏观与微观是相互联系的。若该金属单位体积内自由电子数为n，请你在（1）和（2）的基础上推导该金属的电阻率ρ与n、b的关系式。
【答案】（1）
（2）a. 见解析；b. 
（3）
【解析】试题分析（1）根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律即可求解感应电流；（2）根据电流的定义式，及自由电子在电场力作用下沿环运动的情况求出环形电流的表达式；（3）利用前两问的结论，结合电阻定律即可求出电阻率。
（1）根据法拉第电磁感应定律有： 
根据欧姆定律有： 
（2）a．设金属环中自由电子的电荷量为e。一个自由电子在电场力的作用下沿圆环运动一周
电场力做的功： 
解得： 
又因为： 
所以： 
b．假设电子以速度v沿金属环做匀速圆周运动，导体对电子的阻力
。
沿切线方向，根据牛顿第二定律有： 
又因为： 
解得： 
电子做匀速圆周运动的周期
则
（3）由（1）和（2）中的结论可知
设金属导线的横截面积为S，则有
所以
又因为
解得： 
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