Question

10．有一容器容积为V，内原有压强等于大气压p₀的空气，质量为m，现用最大体积为$\frac{V}{20}$的活塞式既能打气又能抽气的两用机，先对容器打气n次，接着抽气n次，试问最终容器内空气压强和质量是否可以恢复原状？设整个过程温度不变．

Answer 1

分析 气体发生等温变化，把容器内的气体与打入的气体为研究对象，应用玻意耳定律求出打气后的压强；把容器内的气体与抽出的气体作为研究对象，应用玻意耳定律求出抽气后气体的压强，然后分析答题．

解答 解：先打气n次，每次打进气体压强均为p₀，体积均为$\frac{V}{20}$，气体发生等温变化，由玻意耳定律得：
${p_0}（V+n•\frac{V}{20}）={p_1}V$，
打气n次后压强变为：${p_1}=\frac{20+n}{20}{p_0}$，
接着抽气：
第一次抽气前后：${p_1}V=p_1^/（V+\frac{V}{20}）$
第二次抽气前后：$p_1^/V={p_2}（V+\frac{V}{20}）$
…
第n次抽气前后：${p_{n-1}}V={p_n}（V+\frac{V}{20}）$
这n个式子两边分别相乘得：${p_1}={p_n}{（\frac{21}{20}）^n}$，${p_n}={（{\frac{20}{21}}）^n}{p_1}={（{\frac{20}{21}}）^n}•\frac{20+n}{20}{p_0}$
显然，仅当n=1时，p_n=p₀；n＞1的自然数时，p_n＜p₀不能复原．
$\frac{{{p_n}V}}{{{p_0}V}}=\frac{{\frac{m_n}{M}RT}}{{\frac{m_0}{M}RT}}$，${m_n}=\frac{p_n}{p_0}{m_0}={（{\frac{20}{21}}）^n}•\frac{20+n}{20}{m_0}$，
仅当n=1时，m_n=m₀；n＞1的自然数时，m_n＜m₀不能复原．
答：仅当n=1时，p_n=p₀；n＞1的自然数时，p_n＜p₀不能复原；
仅当n=1时，m_n=m₀；n＞1的自然数时，m_n＜m₀不能复原．

点评 本题考查了判断气体压强与质量是否变化，应用玻意耳定律可以解题，解题时注意数学归纳法的应用．