Question

2．第22届冬季奥林匹克运动会，于2014年2月7日-2月23日在俄罗斯联邦索契市举行，来自各个国家和地区的冰雪健儿将向全世界展现冰雪运动的魅力．滑雪运动中，滑雪板与雪地之间的相互作用与滑雪速度有关，当滑雪者的速度超过4m/s时，滑雪者与雪地间的动摩擦因素就会由μ₁=0.25变为μ₂=0.125，一滑雪者从倾角a=37°的坡顶A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平雪地，到达C处后，恰好越过高度差h=1.8m，宽S=1.2m的壕沟落在D点．如图所示．不计空气阻力，水平雪地BC长98.4m，滑雪者与滑雪板总质量M=69Kg，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）滑雪者在C点的速度；
（2）斜坡AB的长度；
（3）整个过程中滑雪者克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析 （1）运动员从C点做平抛运动，即可求得C点速度；
（2）在BC段分速度大于4m/s和小于4m/s两端利用牛顿第二定律和运动学公式求的B点速度，在AB段同样分分速度大于4m/s和小于4m/s两端利用牛顿第二定律和运动学公式求位移
（3）根据动能定理即可求得摩擦力做功

解答 解：（1）在CD段滑雪者做平抛运动，由平抛运动知识 h=$\frac{1}{2}$gt²  解得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×1.8}{10}}s$=0.6s
则运动员在C点速度V_C=$\frac{S}{t}$=$\frac{1.2}{0.6}m/s$=2m/s
（2）在BC段速度小于4m/s时的加速度a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}={μ}_{1}g$=2.5m/s²，
速度大于4m/s时的加速度a₁=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}={μ}_{2}g$=1.25m/s²
加速度为2.5m/s²时滑雪者滑行距离X₁=$\frac{{v}^{2}{-v}_{C}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{4}^{2}-{2}^{2}}{2×2.5}m$=2.4m
则加速度为1.25m/s²时滑雪者滑行距离X₂=96m
由此知滑雪者在B点的速度V_B=$\sqrt{{v}^{2}+2{a}_{1}{x}_{2}}=\sqrt{{4}^{2}+2×1.25×96}m/s$=16m/s
在AB段，速度大于等于4m/s时 a₃=g sin37°-μ₂gcos37°  解得a₃=5m/s²
速度小于4m/s时a₄=g sin37°-μ₁gcos37°  解得a₄=4m/s²
加速度为5m/s²时滑雪者滑行距离X₃=$\frac{{v}_{B}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{3}}$=24m
加速度为4m/s²时滑雪者滑行距离X₄=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$=2m
则知斜坡AB的长为x_AB=x₃+x₄=26m
（3）斜坡AB的竖直高度h=$\frac{{x}_{AB}}{sin37°}$
由能量守恒知 W_f=mgh-$\frac{1}{2}$mv_c²=29762J．
答：（1）滑雪者在C点的速度2m/s；
（2）斜坡AB的长度为26m；
（3）整个过程中滑雪者克服摩擦力所做的功29762J

点评 本题综合考查了牛顿第二定律和运动学公式，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁，通过加速度可以根据力求运动，也可以根据运动求力