题目内容

【题目】如图,半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上,半球的上表面水平,球面与桌面相切于A点。一细束单色光经球心O从空气中摄入玻璃体内(入射面即纸面),入射角为45°,出射光线射在桌面上B点处。测得AB之间的距离为。现将入射光束在纸面内向左平移,求射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时,光束在上表面的入射点到O点的距离。不考虑光线在玻璃体内的多次反射。

【答案】R

【解析】当光线经球心O入射时,光路图如图(a)所示。设玻璃的折射率为n,由折射定律有

n=

式中,入射角i=45°,γ为折射角。

△OAB为直角三角形,因此sin γ=

发生全反射时,临界角C满足sin C=

在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时,光路图如图(b)所示。设此时光线入射点为E,折射光线射到玻璃体球面的D点。由题意有∠EDO=C④

在△EDO内,根据正弦定理有

联立以上各式并利用题给条件得OE=R⑥

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