Question

如图所示，固定的光滑绝缘圆形轨道竖直放置，处于水平方向的匀强电场和匀强磁场中．已知圆形轨道半径R=2.00m，AD为其水平直径．磁感应强度B=1.00T，方向垂直于纸面向内，电场强度E=1.00×10²V/m，方向水平向右．一个质量m=4.00×10^-2kg的小球（可视为质点）在轨道上的C点恰好处于静止状态，OC与竖直直径的夹角θ=37°（g取10m/s²，sin37°=0.6，计算结果要求保留三位有效数字）
（1）求小球带何种电荷，电荷量q是多少？
（2）现将电场突然反向，但强弱不变，因电场的变化而产生的磁场可忽略不计，小球始终在圆弧轨道上运动，试求在小球运动过程中与初始位置的电势差最大值U_m是多少？对轨道的最大压力是多大？

Answer 1

分析：（1）带电小球处于匀强电场与匀强磁场中，在轨道上的C点恰好处于静止状态，则受到电场力、支持力与重力，由此可确定，电场力的方向及电场力的大小，从而求出带电小球的电量．
（2）若电场突然反向，但强弱不变，带电小球在圆轨道上运动，当电场力做功最大的位置就是与初始位置的电势差最大值U_m的位置．由于负电荷，因此逆着电场线方向离C点最远的位置，就是电势差最大的位置．而速度最大位置则是轨道压力最大的位置．因此当小球运动到支持力的方向跟重力和电场力的合力方向在一条直线上时，速度达到最大．

解答：解：（1）由平衡条件有：tanθ=

qE

mg

q=

mgtanθ

E

=

4.00×10-2×10×0.75

100

C=3.00×10-3C  带负电荷
（2）电场反向后，电场力和重力的合力F大小仍为

mg

cosθ

=0.5N不变，方向与竖直方向夹角为θ=37°指向右下方．
小球的平衡位置O′，OO′与OC的夹角为2θ=74°，故小球从C点开始向O′做加速运动，到达O′时速度最大．
根据对称性，小球会继续运动到与OO′成2θ=74°的C′点，即在CC′之间振动．
由图可知，C点与同O等高的D点间电势差最大，由U=Ed得：U_m=ER（1+sinθ）=320 V
小球经过平衡位置O′点时速度最大，当小球从C运动到O′点时，由左手定则可判断洛伦兹力沿OO′方向向下，此时小球对轨道的压力最大．从C到OO′
由动能定理得：qE?2Rsinθ=

1

2

mv2
在O′点，由牛顿第二定律得　FN-F-qvB=m

v2

R

即FN=F+qvB+m

v2

R

=1.24N
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力F_N'=F_N=1.24 N
答：（1）小球带负电荷，电荷量q是3×10^-3C；
（2）现将电场突然反向，但强弱不变，因电场的变化而产生的磁场可忽略不计，小球始终在圆弧轨道上运动，小球运动过程中与初始位置的电势差最大值U_m是320V；对轨道的最大压力是1.24N．

点评：考查对研究对象受力分析，并由平衡条件来确定力的方向．同时运用了牛顿第二、三定律及动能定理．体现了电势差最大即为电场力做功最多．还有此处可将电场力与重力可等效成一个力．则可以很容易判定速度最大的位置．