Question

如图所示，固定的光滑圆柱体半径R=

1

π

（m），匀质柔软绳长度L=3m，质量m=0.9kg，搭放在圆柱体上，绳子右端A刚好与圆心O等高．（g=10m/s²）
（1）若使绳子在如图位置静止，在A端施加的竖直向下的拉力F₁多大？
（2）若给绳一个初速度v₀=2m/s，同时给A端竖直向下的力F₂，为保持A端在一段时间内竖直向下匀速运动，则力F₂与时间t之间满足什么关系？
（3）若给绳一个初速度v₀=2m/s，为使绳能够从圆柱体右侧滑落，在A端施加的竖直向下的拉力至少做多少功？

Answer 1

分析：（1）由于圆柱体光滑，要使绳子在如图位置静止，在A端施加的竖直向下的拉力F₁等于处于悬垂状态的绳子重力．
（2）为保持A端在一段时间内竖直向下匀速运动，力F₂需要维持到左、右两边绳长恰好相等，列式求解．
（3）为使绳能够从圆柱体右侧滑落，在A端施加的竖直向下的拉力作用下，绳至少应运动到左、右两边绳长恰好相等，且此时绳速度为零．根据动能定理求解拉力做功．

解答：解：（1）与光滑圆柱体接触的绳长为l=πR=1m，可见处于悬垂状态的绳长占整个绳长的

2

3

．为使绳子保持静止，拉力大小
  F₁=

2

3

mg=

2

3

×0.9×10=6N
（2）为保持A端在一段时间内竖直向下匀速运动，力F₂需要维持到左、右两边绳长恰好相等，即A端下降1m，此时t=

l

v

=0.5s．在此之前，有
 F₂=

2

3

mg-2

vt

L

mg=（6-12t）N （t≤0.5s）
（3）为使绳能够从圆柱体右侧滑落，在A端施加的竖直向下的拉力作用下，绳至少应运动到左、右两边绳长恰好相等，且此时绳速度为零．设该过程拉力至少做功W_min，根据动能定理，有
  W_min-

1

3

mg×

L

3

=0-

1

2

m

v

2 0

得W_min=

1

9

mgL-

1

2

m

v

2 0

=（3-1.8）J=1.2J
答：
（1）若使绳子在如图位置静止，在A端施加的竖直向下的拉力F₁为6N．
（2）若给绳一个初速度v₀=2m/s，同时给A端竖直向下的力F₂，为保持A端在一段时间内竖直向下匀速运动，则力F₂与时间t之间满足（6-12t）N （t≤0.5s）．
（3）若给绳一个初速度v₀=2m/s，为使绳能够从圆柱体右侧滑落，在A端施加的竖直向下的拉力至少做1.2J的功．

点评：本题要紧扣匀速运动受力平衡条件进行分析，并运用动能定理求变力做功．