Question

18．如图所示，遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上．已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到阻力恒为车重的0.5倍，赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=2W工作，轨道AB的长度L=2m，圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力可忽略，取重力加速度g=10m/s²．某次比赛，要求赛车在运动过程中刚好通过轨道的最高点P．在此条件下，

求：（1）小车在CD轨道上运动的路程．
（2）赛车运动到圆形光滑轨道最底部时对轨道的压力．
（3）赛车电动机工作的时间．

Answer 1

分析 （1）对P点到停下这段过程运用动能定理，求出在CD轨道上运动的路程；
（2）从C点运动到最高点D的过程中，根据机械能守恒求得最高点D速度，根据牛顿第二定律求得对轨道压力；
（3）对A到P段运用动能定理，抓住功率不变，求出电动机工作的时间．

解答 解：（1）要使小车恰好通过最高点，根据mg=$m\frac{{v}_{p}^{2}}{R}$
得：${v}_{p}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}m/s$
根据动能定理得：$mg•2R-kmg•{x}_{CD}=0-\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}$
代入数据解得：x_CD=2.5m．
（2）从C点运动到最高点D的过程中，机械能守恒得$\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}+mgR（1+cosα）$
设赛车经过最高点D处时对轨道压力F_N
${F}_{N}+mg=m\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
联立解得F_N=1.6N
（3）对A到P段运用动能定理得：Pt-kmgL-mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{p}^{2}$
代入数据解得：t=4.5s．
答：（1）车在CD轨道上运动的最短路程为2.5m；
（2）赛车运动到圆形光滑轨道最底部时对轨道的压力为1.6N．
（3）赛车电动机工作的时间为4.5s

点评 本题考查了动能定理和牛顿第二定律的综合运用，运用动能定理解题关键选择好研究的过程，分析过程中有哪些力做功，然后根据动能定理列式求解．