【题目】（理）已知数列满足（），首项．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和；

（3）数列满足，记数列的前项和为，是△ABC的内角，若对于任意恒成立，求角的取值范围．

【题目】已知函数，若在区间内有且只有一个实数，使得成立，则称函数在区间内具有唯一零点.

（1）判断函数在区间内是否具有唯一零点，说明理由：

（2）已知向量，，，证明在区间内具有唯一零点.

（3）若函数在区间内具有唯一零点，求实数的取值范围.

【题目】如图，A、B是海岸线OM、ON上两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别为、，测得，，以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，一艘游轮以小时的平均速度在水上旅游线AB航行（将航线AB看作直线，码头Q在第一象限，航线BB经过点Q）.

（1）问游轮自码头A沿方向开往码头B共需多少分钟？

（2）海中有一处景点P（设点P在平面内，，且），游轮无法靠近，求游轮在水上旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.

【题目】设点分别是棱长为2的正方体的棱的中点．如图，以为坐标原点，射线、、分别是轴、轴、轴的正半轴，建立空间直角坐标系．

（1）求向量与的数量积；

（2）若点分别是线段与线段上的点，问是否存在直线，平面？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【题目】已知数列的通项公式为，其中，、.

(1)试写出一组、的值，使得数列中的各项均为正数.

(2)若，，数列满足，且对任意的()，均有，写出所有满足条件的的值.

(3)若，数列满足，其前项和为，且使(、，)的和有且仅有组，、、…、中有至少个连续项的值相等，其它项的值均不相等，求、的最小值.

【题目】对于双曲线：()，若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.

(1)证明：直线上的点都在的外部.

(2)若点的坐标为，点在的内部或上，求的最小值.

(3)若过点，圆()在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围.

【题目】如图，小凳凳面为圆形，凳脚为三根细钢管.考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点与凳面圆形的圆心的连线垂直于凳面和地面，且分细钢管上下两段的比值为，三只凳脚与地面所成的角均为.若、、是凳面圆周的三等分点，厘米，求凳子的高度及三根细钢管的总长度(精确到).

【题目】已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.设数列的前n项和为且满足

（1）求数列的通项公式；

（2）若求正整数的值；

（3）是否存在正整数，使得恰好为数列的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

【题目】已知直线是双曲线的一条渐近线，点都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为.

（1）求双曲线的方程，并求出点的坐标（用表示）；

（2）设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点.问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）若过点的直线与双曲线交于两点，且，试求直线的方程.

【题目】已知椭圆的左右焦点分别是,是椭圆外的动点,满足.点是线段与该椭圆的交点,点在线段上,并且满足,.

(1)当时,用点P的横坐标表示；

(2)求点的轨迹的方程；

(3)在点的轨迹上,是否存在点,使的面积?若存在,求出的正切值；若不存在,说明理由.