设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为 ．

已知函数则满足不等式的的取值范围是 ．

当实数满足不等式组：时，恒有成立，则实数的取值范围是__________．

若不等式的解集为区间，且，则 ．

已知，设：函数在其定义域内为增函数，：不等式的解集为，若“”为真，“”为假，求实数的范围．

已知关于的不等式．

（1）是否存在实数，使不等式对任意的恒成立？并说明理由．

（2）若对于不等式恒成立，求实数的取值范围．

（1）求函数，的最小值．

（2）已知不等式的解集为，且，试用，表示不等式的解集．

数列是公比为的等比数列，且是与的等比中项，前项和为；数列是等比数列，，其前项和为，满足（为常数，且）．

（1）求数列的通项公式及的值；

（2）比较与的大小并说明理由．

某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元，公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

已知数列，满足：，，．

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，不等式恒成立时，求实数的取值范围．