已知为双曲线的左焦点，直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是___________．

已知数列满足，数列满足，，则数列的前项和的最大值为____________．

已知函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若在中，，求面积的最大值．

一次研究性学习有“整理数据”、“撰写报告”两项任务，两项任务无先后顺序，每项任务的完成相互独立，互不影响．某班研究性学习有甲、乙两个小组．根据以往资料统计，甲小组完成研究性学习两项任务的概率都为，乙小组完成研究性学习两项任务的概率都为．若在一次研究性学习中，两个小组完成任务项数相等．而且两个小组完成任务数都不少于一项，则称该班为“和谐研究班”．

（1）若，求在一次研究性学习中，已知甲小组完成两项任务的条件下，该班荣获“和谐研究班”的概率；

（2）设在完成4次研究性学习中该班获得“和谐研究班”的次数为，若的数学期望，求的取值范围．

如图，在四棱锥中，平面，平面，．

（1）证明:平面平面；

（2）点为线段（含端点）上一点，设直线与平面所成角为，求的取值范围．

已知椭圆短轴长为2，线段是圆的一条直径也是椭圆的一条弦，已知直线斜率为-1．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上两点，点关于轴的对称点为，当直线分别交轴于点，求证：为定值．

若函数的反函数记为，已知函数．

（1）设函数，试判断函数的极值点个数；

（2）当时，，求实数的取值范围．

选修4-1：几何证明选讲

如图，在圆内接梯形中，，过点作圆的切线与的延长线交于点，若．

（1）求证：梯形为等腰梯形；

（2）求弦的长．

选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点．

（1）求曲线的直角坐标方程；

（2）求线段的长．

选修4-5：不等式选讲

已知函数的最小值为．

（1）求；

（2）若正实数满足，求的最小值．